Curvenlehre. 
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Curvenlehre. 
chung durch y-f 2,909 dividirt gibt: 
y* - 5,909 y + 17,28928 = 0 
deren beide Wurzeln unmöglich sind. 
Die beiden Ordinateli rechts und links 
von A für die untere Konchoide sind de 
nen für die obere gleich. Die der oberen 
erscheinen positiv, die der unteren negativ, 
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und es genügt eine der beiden Glei 
chungen zur Bestimmung der Wende 
punkte. 
Setzt man den Werth von y in Glei 
chung 12, pag. 107, so erhält man für 
beide Konchoiden 
* = J V'« 3 - V 2 = ± V / 25 - 2,909 2 - ± 1,398 
Die Werthe von y und z in Gl. 7 ge 
setzt gibt für die obere Konchoide 
x = k = . l 398 = 5,46478 
c 1 
Für die untere Konchoide, wo z nega 
tiv wird (s. Gl. 8, pag. 167), indem z auf 
der entgegengesetzten Seite von A liegt. 
* = C -^ z = —^ i)()9 (- 1,398) = + 2,66878 
Der Wendungspunkt der unteren Kon 
choide liegt also der Mittellinie näher als 
der der oberen. 
In dem Beispiel entsteht für die untere 
K. ein Knoten (s. pag. 167, Fig. 523); es 
folgt hier ein solches Beispiel, wo kein 
Knoten entsteht, indem c > a gesetzt wird. 
2. Beisp. Es seic=10, a — 5, so hat 
man die Gleichung für die obere Kon 
choide 
y 3 + 301/ 2 - 500 = 0 
y = + 3,8445 ist eine Wurzel und gibt 
jeden der beiden oberen Wendungspunkte. 
Denn die Gl. mit y - 3,8445 dividirt ent 
steht 
i/ 2 + 33,8845 y + 130,269 = 0 
welche 2 negative Wurzeln giebt, die 
nicht gelten können. Die Gl. für die un 
tere Konchoide würde sein 
y 3 — 30 y 2 -f 500 = 0 
Eine Wurzel ist hier wieder die entge 
gengesetzte deroberen nämlich»/=—3,8445 
und diese gibt die beiden Wendungs 
punkte; denn die Gl. mit y+ 3,8445 di 
vidirt gibt 
y 2 - 33,8845 y + 130,269 = 0 
welche 2 positive Wurzeln gibt, die hier 
nicht gelten können. 
Aus der Construction der Konchoide, 
und auch da für jedes x von 0 bis ± «> 
mögliche Werthe von y entstehen geht 
hervor, dafs die hier gefundenen Punkte 
keine Spitzen an der Curve sind. 
V. Rectification der Curven. 
Hierunter versteht man, die Länge einer 
0. anzugeben, oder die gerade Linie zu 
finden, welche mit der 0. einerlei Länge hat. 
Es sei ABG eine krumme Linie, CX 
die Abscissenlinie C der Anfangspunkt 
der Abscissen; CE — x\ CD = x die Ab 
scissen, EA = y', DB = y die Ordinaten 
zweier Punkte A und B der krummen 
Linie, diese Ordinaten y‘, y als Functio 
nen von x', x gegeben; man soll die 
Fig. 539. 
Länge l des zwischen beiden Punkten A 
und B befindlichen Curvenstücks be 
stimmen. 
Läfst man CD = x um das Stück 
DF = A* wachsen, so ist die Ordinate 
FG=y+&y 
zieht man BJd= CX, 
so ist BJ = /\x und GJ = /\y 
zieht man ferner durch B die Tangente KH, 
so ist 
Da die Tangente BH mit BJ densel 
ben Winkel bildet wie mit der Abscis 
senlinie, (nach pag 185, Gl. 2) die tri 
gonometrische Tangente von HBJ 
oder ty HBJ = ^ 
Verlängert man daher die Ordinate FG 
bis sie die Tangente in H schneidet, 
so ist 
folglich 
HJ = BJtg HBJ = A*|| 
0H = 
und 
#»=,'•«»+./*=! a*h(a-!|)La.] « + (§£)