Cycloide. 
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Cycloide. 
daher Do = r — r x cos cp 
po = r, sin (p 
potg ZopD = Do = r -r x cos cp 
folglich tg n — tq Z.opD 
r, sin q) 
und Z °pD = a 
Zieht man daher durch l die mit pD 
parallele Ik, so ist diese die Normale in l. 
Da die Linie pD den Kreis cpd in noch 
einem Punkt p’ schneidet, so existirt noch 
ein zweiter Punkt in der C., deren Nor 
malo mit pD und lk 4= ist, und mau er 
hält denselben, wenn man aus p’ mit AB 
bis zur C. eine Parallele zieht. Jeder 
Punkt der C. von a bis c hat also noch 
einen ihm correspondirenden Punkt für 
parallele Normalen und folglich auch für 
parallele Tangenten. 
Nur der Punkt der C. für den die aus 
D gezeichnete Linie den Kreis dpc be 
rührt, hat eine Normale und eine Tan 
gente, mit denen keine Normale und 
Tangente eines anderen Punktes der C. 
4= läuft. Man erhält diesen Punkt e wenn 
man aus dem Berührungspunkt f von Df 
an dem Kreise dpc mit AB eine Paral 
lele fe bis an die C. zieht. 
Der Zusammenhang je zweier für pa 
rallele Ordinaten correspondirenden Punkte 
ist folgender: 
Ist Z opD der Tangentenwinkel « für 
die Punkte p und p\ Z pQd = <f der zu 
p gehörige, /_p'Qd-ip der zu p’ gehö 
rige Wälzungswinkel, bezeichnet man fer 
ner Z_p'pQ = /_pp'Q mit ß, so hat man 
« — ß = 90° — cp’ = cp — 90° 
woraus ß = 90° + « — (p 
auch ist 2ß = 180° — (</> — ip) 
also ß = 90° — ^ ^ 
beide Werthe für ß gleich gesetzt, gibt 
cc — cp — — 
_ (f - \p 
_ <f + '/> 
Hat man also für den zu dem Z <p ge 
hörenden Punkt l den Z « gefunden, so 
erhält man ip = 2a — <p, und mit diesem 
Z den Punkt der C., der mit dem Punkt 
l parallele Normalen und Tangenten hat. 
Für den Punkt e hat man a — p = ip und 
dieser Z findet sich aus r cos <p = r,, 
also cp = arc (cos = —^ 
4. Aus Formel 2: 
y = r<p — r, sin (f 
und Formel 7 
by r — r, cos cp 
—- = tg « = —-— L . 
bx r x sin cp 
erhält man wie No. 5 für die verkürzte C. 
Die Subtangente für den Punkt / 
(wie MS für L } Fig. 543) 
bv . . r — r. cos cp r. sin oi (rep — r, sin o) 
y : — = (r<p — r. sin qi) : = — ■ - ■ — 
9® r x smq> r — r x cosqi 
Die Tangente für / (wie LS für L, Fig. 543) 
__*_[/ 1 + (W 
(by\ \ \b*J 
\bxf 
rq> — r, sin q> 
r — r x COS Cp 
yr* -)- r, (r, — 2r cos qi) 
Die Subnormale für l (wie RM für L, Fig. 543) 
by . . .r-r, cos cp 
y bx v T 1 r x sin cp 
Die Normale für l (wie LR für L, Fig. 543) 
y\ /i+ iU) = ry ^'4~~ ^ a + r « (r «- 2rc ^ 
(8) 
(9) 
(10) 
(ID 
5. Die Länge des Krümmungshalb 
messers in der Normale bei demselben 
Verfahren wie No. 6, und bei Vertau 
schung von R mit r, 
(r, 2 -f r 2 -2rr,cos c/)l 
p = z c—- (4 
r, (r, — r cos (f) 
6. Auch hier liegt aus denselben Grün 
den wie No. 7 die Normale für den Punkt 
a in aN, die Länge von p für a ist 
(r, - r) 2 _ (r-r,) 2 
Ist in beiden C. der verkürzten und 
der gestreckten R — r = r - r,, d. h. ist 
in beiden der Abstand Cc gleich grofs 
= k, so ist p für a bei der verkürzten C. 
kleiner als bei der gestreckten C. Beide 
g verhalten sich wie r, : R oder wie 
r-k.r + k. 
Für den Scheitel c ist p = — 
r \ 
Auch hier für c ist p bei der verkürz 
ten C kleiner als bei der gestreckten C.