Cylinder. 
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Cylinder. 
Fig. 550. 
gente JK in einem anderen Punkt als 
G. den sie mit dem Grundkreise allein 
gemein hat, folglich liegt jede andere 
Linie innerhalb JKML und AC aufser- 
lialb des Cylindermantels und folglich hat 
die Ebene JKLM nnr die eine grade 
Linie GH mit dem Cylindermantel ge 
mein und ist eine Tangentialfläche des 
Cylinders. 
5. In jedem schiefen Cylinder gibt es 
aufser den mit den Endflächen parallelen 
Durchschnitten noch ein zweites System 
von parallelen Durchschnitten die mit 
dem Grundkreise congruente Kreise sind. 
Es sei BDNO ein schiefer C., AC seine 
Axe, die Ebene BDNO durch die Axe 
und normal auf die Grundkreise gelegt. 
Zieht man nun in dieser Ebene die grade 
Fig. 551. 
Linie GH durch den Punkt J der Axe 
der Art, dafs Z GHD = Z BDH, dafs also 
die Linien GH und BD antiparallel sind, 
und führt durch GH eine auf die Ebene 
BDNO normale Ebene, so ist deren Durch 
schnitt GKHL mit dem Cylindermantel 
ein den Endkreisen congruenter Kreis. 
Um dies nachzuweisen, lege man durch 
irgend einen Punkt z. B. L des Durch 
schnitts dieser Ebene mit dem Mantel 
einen den Endkreisen parallelen Kreis 
EKFL, dessen Mittelpunkt sei C, die in 
der Ebene BDNO befindlichen Durch 
messer EF und GH beider Kreise schnei 
den sich in dem Punkt M und beide 
Kreisebenen in der durch M gehenden 
graden Linie LK, welche normal der 
Ebene BDNO ist, weil es beide Kreis 
ebenen sind, 
mithin ist Z B MB = Z LMH = II 
ferner ist Z MJC = Z MHD - z BDD 
da nun auch Z MCJ — Z BDH 
so ist z MCJ — z MJC 
daher MC — MJ 
Zieht man also die Linien LC, LJ so 
sind die beiden bei M rechtwinkligen 
Dreiecke 
A LMC m A LMJ 
daher ist auch LC—LJ. 
Nun ist LC der Halbmesser des Krei 
ses EKFL = dem Halbmesser der Grund 
kreise und JL ist gerade Verbindungs 
linie eines Mantelpunkts L mit dem Axen- 
punkt J, die beide in der Ebene GKHL 
liegen. Da nun L in dem Umfang der 
letzten Ebene beliebig gewählt ist, so 
liegt auch jeder andere Punkt des Durch 
schnitts zwischen Mantel und Ebene GKHL 
von dem Durchschnittspunkt J der Ebene 
mit der Axe um den Halbmesser des 
Grundkreises entfernt und folglich ist die 
Durchschnittsebene GKHL ein den End 
kreisen congruenter Kreis. Man nennt 
den Durchschnitt GKHL einen Wech 
selschnitt. 
6. In jedem anderen ebenen Durch 
schnitt des Mantels, der nicht parallel 
den Grundkreisen liegt oder ein Wechsel 
schnitt ist, wird von dem Mantel eine 
Ellipse begrenzt. 
Denn ist ZDHG nicht ='ZBDH so 
ist auch MC nicht —MJ, CF nicht — JH 
und der Durchmesser EF des Endkreises 
nicht gleich der Linie 2JG — GH. Nun 
ist MK normal auf EF und normal auf 
GH. Es ist aber in dem Kreise EKFL 
MK 2 = EM x MF 
da nun A MGE <x> A MHF 
so ist GM : MH = EM : MF 
also auch 
GM + Mir : GM = EM + MF: EM 
oder GH : FF — GM : EM 
und da auch GH : EF - HM : FM 
so ist GH 9 'i EF? = GM- HB . EM-FM