Cylinder. 
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Cylinder. 
oder 
hieraus 
oder 
GH 2 : EF 2 = Gilf • J/ß : MK 2 
EF 2 
MK 2 = GW • HM x 
GH 2 
MK- = GM x (Gif—GM) X 
FF 2 
GH 2 
Setzt man nun MK als lothrechte Or 
dinate = ?/, GM als Abscisse = a; so hat 
man die Gleichung 
, EF 2 EF 2 „ 
?/' = . .. * - 
GH 
GH 2 
welches die rechtwinklige Coordinaten- 
gleichung für die Ellipse ist. 
Für /_ JHF> Z_ BDF wird JH die halbe 
kleine, JL—CF— AD die halbe grofse Axe. 
Für Z. JHF< /_ BDF wird JH die halbe 
grofse, JL = CF=AD die halbe kleine Axe. 
Ist BDO!\ ein gerader C., so existirt 
kein Wechselschnitt und jeder andere als 
parallel mit den Endkreisen genommene 
ebene Schnitt durch den Mantel wird eine 
Ellipse. 
7. Der gerade Cylindermantel ist = 
einem Rechteck, dessen Grundlinie = 
dem Umfange des Grundkreises und des 
sen Höhe = der Axe oder einer Seite 
des Cylinders ist. Ist r der Halbmesser 
des Grundkreises, h die Länge der Axe, 
so ist der Cylindermantel = 2nrh. Denn 
wenn man sich den Cylindermantel von 
einer beliebigen Seite aus in eine Ebene 
abgewickelt denkt, so entsteht das eben 
angegebene Rechteck. 
Diesen Satz beweist man ganz streng 
mit Hülfe der Grenzwerthe: Man beschreibe 
in dem Grundkreise und um denselben 
regelmäfsige Vielecke von gleich viel Sei 
ten , von welchen die Ecken des inneren 
Vielecks auf die Mitten der Seiten des 
äufseren treffen, oder auch so belegen, 
dafs je 2 Seiten der beiden Vielecke ein 
ander sind, so ist die Summe der Sei 
ten des inneren Vielecks kleine* und die 
Summe der Seiten des äufseren Vielecks 
gröfser als der Umfang des Grundkreises. 
Zieht man nun aus allen Ecken beider 
Vielecke Parallelen mit der Axe bis in 
die Ebene des zweiten Endkreises, ver 
bindet in diesen die Durchschnittspunkte 
durch gerade Linien, so entstehen in dem 
zweiten Endkreise zwei den unteren con- 
gruente Vielecke; und legt man durch 
sämmtliche Seitenpaare Ebenen, so ent 
stehen innerhalb und aufserhalb des Cy- 
lindermantels so viele Rechtecke als die 
Vielecke Seiten haben. Die inneren Recht 
ecke berühren mit ihren Seiten den Man 
tel, die äufseren sind Tangentialflächen 
des Mantels. 
Die Summe der inneren Rechtecksflä 
chen ist kleiner, die Summe der äufseren 
ist gröfser als der Cylindermantel. Durch 
beliebig wiederholte Verdoppelung der 
Vielecksseiten und der zu ihnen gehöri 
gen Rechtecke wird die Summe der in 
neren Rechtecksflächen immer gröfser, 
die der äufseren immer kleiner und man 
kann deren summarische Gröfsen einan 
der beliebig nahe bringen. Aber immer 
bleibt der Cylindermantel kleiner als die 
Summe der äufseren und gröfser als die 
Summe der inneren Rechtecksflächen, 
und da zugleich das Rechteck, dessen 
Grundlinie der Umfang des Grundkreises 
und dessen Höhe die Axe ist ebenfalls 
immer kleiner bleibt als die Summe der 
äufseren und gröfser als die Summe der 
inneren Rechtecke, so sind diese beiden 
eingeschlossenen Gröfsen: erstens das 
Rechteck vom Umfang der Grundfläche 
mal der Axe und zweitens der Cylin 
dermantel einander gleich. 
8. Der Mantel eines schief ahgeschnit- 
tenen geraden Cylinders ist ebenfalls = 
dem Rechteck 2nrh, wenn r der Halb 
messer des Grundkreises und h die Höhe 
seiner Axe ist. 
Denn ist BDEF der abgekürzte Cylin 
der, dessen Grundkreis den Halbmesser 
BC = r hat und dessen Axe AC—h ist, 
und man legt durch den Endpunkt A 
der Axe eine Ebene JGKH =)= dem Grund 
kreise, ergänzt den rechts befindlichen 
niedrigeren Theil des Mantels bis zur 
Durchschnittsebene JGKII um das Stück 
JHFK so schneidet der dem Grundkreise 
parallele Kreis GJHK die den 0. oben 
Fig. 552. 
begrenzende Ellipse EJFK in der durch 
A liegenden geraden Linie JK. Nun ist 
die Fläche des abgekürzten Cylinders = 
der Cylinderfläche GH Bl) + der Huffläche 
JKEG — der Huffläche JKFH. Da aber 
beide Hufflächen von gleichen Höhen EG 
und FH und demnach gleich sind, so ist 
der Mantel des schief abgekürzten gera 
den C. = dem Mantel GHBD = 2 nrh. 
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