Decimalbruch. 
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Decimalbruch. 
So ist 400 : 0,25 = 1600 
40 : 0,25 = 160 
4:0,25= 16 
4 : 0,025 = 160 
4 : 0,0025 = 1600 
0,0001 :0,02 = 0,005 
45 : 0,1 = 450 u. s. w. 
4. Das Ausziehen einer Quadratwurzel 
s. Bd. I, pag. 241, No. 5; einer Kubik 
wurzel Bd. I, pag. 242. Dafs die Klas 
senteilung der Potenz vom Komma ab 
geschehen mufs ist klar, denn es ist 
Q’= i5ö oder 0 > 1, = °’ 01 
( —) = —— oder 0,1 3 = 0,001 
VlO/ 1000 ’ 
u. s. w. 
5. Aus der Lehre von der Division der 
Decimalbriiche entspringt die Regel zur 
Verwandlung der gemeinen Brüche in 
Decimalbrücne, denn man hat nur nö 
tig, die Division, welche der gemeine 
Bruch verlangt, auf die obige Weise wirk 
lich auszuführen, indem man mit Beob 
achtung des Komma dem Zähler Nullen 
anhängt. Z. B. 
¿ = ^=0,5 
i=a2 = °,75 
1=1^?—• = 0.8333... 
Das letzte Beispiel gibt einen Decimal 
bruch mit einer unbegrenzten Anzahl von 
Ziffern und dies geschieht bei der Ver 
wandlung eines jeden Bruchs, dessen Nen 
ner aufser der 2 und der 5 noch andere 
Primfactoren enthält. 
Dagegen hat ein solcher Decimalbruch 
die Eigenschaft, dafs eine gewisse Anzahl 
von Ziffern in derselben Reihenfolge im 
mer wiederkehrt. Z. B. 
^j- = 0,09 09 09 09 
4- = 0,142857 142857 142857 
7 
i- = 0,02 27 27 27 27 
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Denn mit welcher Zahl und in welche 
Zahl man auch dividiren mag, so kön 
nen immer nur so viele verschiedene 
Reste entstehen als der Divisor Einhei 
ten enthält weniger 1. Z. B. bei der Di 
vision mit 6 können nur die Reste 1, 2, 
3, 4, 5; bei der Division mit 5 nur die 
Reste 1, 2, 3, 4 Vorkommen, und da die 
zu dem jedesmaligen Rest genommene 
Endziffer immer =0 ist, so hat man bei 
dem Divisor 6 die Partialdividenden 10, 
20, 30, 40, 50; bei der Division mit 5 
die Partialdividenden 10, 20, 30, 40. Wo 
also ein Rest zum zweiten Mal vorkommt, 
mufs eine Wiederkehr von Ziffern im 
Quotient beginnen. 
3264413 
„ . . . . 1 1,0000000 Ä 
Bei der Division — = =0,142857 
7 7 
erhält man auf einanderfolgend die Reste 
3, 2, 6, 4, 5, 1; und da der Dividend 
mit 1 anfängt, so fangen auch die wei 
teren Reste wieder mit 3 an, werden der 
Reihenfolge nach dieselben und eben so 
ist es mit den ferner folgenden Ziffern 
im Quotienten. 
Man hat auch viele Fälle, wo die Ent 
wicklung einer Zahl in einen Decimal 
bruch bis ins Unendliche fortlaufende Zif 
fern ohne Wiederkehr erzeugt. Dies 
findet z. B. statt, wenn eine Wurzel aus 
einer unvollkommenen Potenz gezogen 
2 3 4 
wird als 1/5; y2; R3 u. s. w. wie Bd. I, 
pag. 241, 242 u. f. wo bei dem Gewinn 
jeder neuen Ziffer in der Wurzel ein Rest 
entsteht, der noch nicht dagewesen ist 
und ebenso ein neuer noch nicht da ge 
wesener Divisor hervorgeht. 
6. Decimalbrüche mit begrenzter An 
zahl von Ziffern heifsen geschlossene 
D.; mit unbegrenzter Stellenanzahl fort 
laufende D. Letztere mit wiederkeh 
renden Ziffern der Reihenfolge nach 
heifsen wiederkehrende oder circu- 
lirende oder periodische D. Die im 
mer wiederkehrende Reihe von Ziffern 
heifst Periode. Fängt die Periode mit 
der ersten Ziffer nach dem Komma an, 
so heifst der D. vollständig perio 
disch wie: 0,47 47 47..; gehen nach dem 
Komma der ersten Periode eine oder 
mehrere Ziffern voran, so heifst der 
D. unvollständig periodisch wie 
0,31 47 47 47.... Die Perioden heifsen 
lziffrig, 2zifFrig, ...«ziffrig, je nachdem 
sie aus 1, 2, ...nZiffern bestehen. 
7. Ein geschlossener D. wird in 
einen gemeinen Bruch verwandelt, w'enn 
man ihn als ganze Zahl in den Zähler 
und den zugehörigen decadischen Nenner 
darunter schreibt, wonach man wo mög 
lich noch heben kann. Als 
0,575 
575 _ 23 
1000 ~ 40 
8. Ein vollständig periodischer 
D. ist = demjenigen gemeinen Bruch, der 
die Periode zum Zähler und den zu ihr 
gehörigen decadischen Nenner weniger 1 
zum Nenner hat. 
Z. B. 0,333... ist = YqZTI 
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