Differenzial. 
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Differenzial. 
3. Mit diesem letzten Begriff wird der 
Begriff des Differenzials begründet. Wenn 
nämlich der Zuwachs A# der Urverän- 
derlichen x beliebig klein, oder wie man 
auch sagt, unendlich klein wird, so hat 
der Zuwachsquotient ^ einen Grenz 
werth und dieser macht das Differenzial 
der Function y aus. 
Nimmt man z. B. in dem obigen Bei 
spiel A® kleiner als jede noch so kleine 
angebbare Gröfse, oder vielmehr nimmt 
man aA* kleiner, also A* um so viel 
mehr kleiner, als irgend eine noch so 
klein denkbare Gröfse, so wird auch die 
Differenz 
^ — 2 ax = a /\x 
¿Sx 
kleiner als jede noch so kleine angebbare 
Gröfse, 2ax ist also der Grenzw r erth von 
¿Sy 
— und zugleich das Differenzial von 
y — ax 2 . 
Das Differenzial einer Function ist also 
der Grenzwerth des Zuwachsquotienten 
der Function bei beliebiger Abnahme des 
Zuwachses A# der Urveränderlichen, oder 
für den Fall, dafs dieser Zuwachs unend 
lich klein wird. 
4. Nach einer andern Begründung des 
Begriffs Differenzial läfst man A x nicht 
unendlich klein werden, sondern man 
¿s y 
setzt A* — 0; dann ist —~ ganz streng 
— ‘lax. Da mit /Sx auch A*/ = 0 wird, 
so erscheint der Differenzenquotient un 
ter dieser Annahme in der Form eine 
unbestimmte Gröfse, die hier zu der be 
stimmten Gröfse 2ax wird. 
5. Der Name Differenzial, den Leibnitz 
eingeführt hat, kommt natürlich daher, 
weil bei Bestimmung desselben zusam 
mengehörige Differenzen auf einander 
folgender Werthe der Functionen und 
ihrer Urveränderlichen Vorkommen. 
Lagrange nennt den Grenzwerth des 
Zuwachsquotient Ableitung oder ab 
geleitete Function. Das Differen 
zial in dem obigen Beispiel enthält die 
Urvariable x, ist also eine Function von 
x; auch eine abgeleitete, weil sie aus der 
ursprünglichen Function entwickelt ist; 
ist aber das D. eine unveränderliche 
Gröfse, wie dies vorkommt, so ist diese 
keine Function und kann nur Ablei 
tung genannt werden. Es ist jedoch 
die Benennung Ableitung unbestimmt, 
da jede Function oder jede Gröfse, die 
aus einer anderen Function entwickelt 
II 
wird, gleich viel auf welche Weise, eine 
Ableitung genannt werden kann. 
6. Die einfachste Bezeichnung des D. 
einer Function ist offenbar die, dafs man 
dem Functionszeichen den Anfangsbuch 
staben des D. vorsetzt, also in dem obi 
gen Beispiel dy = 2aa;. Um aber das Zei 
chen dy von dem eines Products zu un 
terscheiden nimmt man, wie zuerst von 
Euler geschehen ist, ein 8 von einiger Ab 
änderung und schreibt dy = ‘lax. 
Da es nun auch Functionen mit meh 
reren Urveränderlichen gibt f (x, y, z) und 
da man die Differenziale dieser Functio- 
tionen bald in Beziehung auf die eine, 
bald auf die andere Urvariable zu neh 
men hat, indem man die übrigen als un 
veränderlich betrachtet, da man ferner 
das D. einer Function (y) in Beziehung 
auf die nächste Veränderliche (x), hierauf 
auf eine folgende Veränderliche (z), von 
der wieder x unmittelbar abhängt, zu be 
stimmen hat, so mufs man aus dem Dif 
ferenzial selbst ersehen können, auf welche 
Urveränderliche es sich bezieht. 
In dem obigen Beispiel bezeichnet y 
die Function, x die Urveränderliche und 
A y 
— ist der Differenzenquotient; um nun 
A* 
den Ursprung des D. aus diesem Quotient 
mit zu bezeichnen hat man für die Be 
zeichnung des D. die Form des Quotient 
beibehalten und man schreibt das D. der 
Function bei welchem man sich aber 
nicht mehr einen Quotient zu denken hat, 
welches vielmehr nur vergegenwärtigen 
soll, dafs diese Gröfse aus dem Quotient 
der Zuwachse zweier Veränderlichen ent 
standen ist, von welchen das obere Zei 
chen y die Function, das untere x die 
Urveränderliche bedeutet. 
Eine dritte Bezeichnung ist 8y = lax dx 
indem man den Zuwachs der Urverän 
derlichen bei dem D. als Factor sich denkt. 
In dem obigen Beispiel war 
Ay — %ax A» + «A® 2 
A# als gemeinschaftlichen Factor hinter 
gestellt gibt die Form 
Ay = (.lax + a&x) Ax 
und für A# beliebig klein entsteht die 
Differenzialformel 
dy = lax dx 
Eine vierte Bezeichnungsart ist 
8 y.r = ‘lax 
7. Enthält das D. noch die Urverän 
derliche, so ist dasselbe ebenfalls eine 
Function der Urveränderlichen und es 
läfst sich mithin auch von dieser Func 
tion das D. bestimmen. 
Das D. von ‘lax erhält man bei dem 
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