Pifferenzial. 
258 
Differenzial. 
oben angezeigten Verfahren = 2a 
es ist also _ 2a 
ax 
Will man nun bezeichnen, dafs dies 
D. das D. eines D. der Function y ist, 
so schreibt man 2a = und nennt dies 
ax 
D. ein D. der zweiten Ordnung. 
Das D. = 2a enthält nicht mehr die Un 
veränderliche x, bei jedem Zuwachs von 
x bleibt das D. = 2a unverändert, 2a 
wächst nicht mit, es gibt also keinen 
Zuwachsquotient und kein D. von 2a; 
wie überhaupt keine (konstante 
ein Differenzial hat. 
Enthält dagegen ein D. zweiter Ord 
nung, auch zweites Differenzial ge 
nannt, noch die Urveränderliche, und man 
nimmt von dem zweiten I). wieder ein 
D., so wird dies ein D. dritter Ord 
nung oder ein drittes D. 
Man schreibt es: 
ax 
und so kann man Differenziale beliebig 
vieler Ordnungen von einer Function be 
stimmen, wenn diese es zuläfst. 
Man bezeichnet die D. verschiedener 
Ordnungen also: 
= A oder 9 2 f/ = Adx oder 9 2 y x = A 
ax 
^U — A oder 9 3 y — A fix oder 9 3 y x - = A 
^—^ = .4 oder d"y = A&x oder 9»t\.c—A 
ax 
Hängt die Function (y) von mehreren 
Urveränderlichen (x, z) ab, und man hat 
dieselbe in Beziehung auf jede von bei 
den differenzirt, so schreibt man 
= P oder 9 2 y — Pdx • 9z> oder 9 2 </j-, s = P 
das D., nachdem y in Beziehung auf x, «mal, in Beziehung auf z, »«mal diflfe- 
renzirt ist schreibt man 
+ JL = q oder 9 "4-"<y = Q 9a;" • 9*'" = 9", m yx-,z 
ax 11 • az m 
Wegen der exponentiellen Bezeichnung 
der Urveränderlichen bei mehreren der 
selben in einer Function beobachtet man 
auch bei nur einer Urveränderlichen diese 
Bezeichnu'ngsart, und schreibt das «te D: 
= R oder 9 "y = R fix 11 
9*« J 
Wie man in der Algebra, um die un 
bekannten Gröfsen von den bekannten 
mit dem Auge leicht unterscheiden zu 
können, jene mit den letzten Buchstaben, 
diese mit den ersten Buchstaben des Al 
phabets bezeichnet, so bezeichnet man 
auch in der Analysis die variablen 
Gröfsen mit den letzten und die con- 
stanten Gröfsen mit den ersten Buch 
staben des Alphabets; eine äufsere Ueber- 
einstimmung, die zu keiner Verwechse 
lung Veranlassung geben darf. 
8. Eine nützliche Anwendung der Dif 
ferenziale ist in dem Art. berührende 
Iiinie, Bd. I, pag. 340 gegeben worden. 
Zuerst ist die Aufgabe: An einer krum 
men Linie eine berührende gerade Linie 
zu ziehen, elementar gelöst und die Sub 
tangente s gefunden worden durch die 
allgemeine Formel 
x — x, 
mit der Vorschrift, bei jedem besonderen 
Beispiel für die gegebenen Gröfsen x; 
x, ; y; y, die Werthe aus der Figur zu 
entnehmen und nach Reduction des Aus 
drucks y\—y und x, = x zu setzen, wel 
ches wie aus den dortigen Beispielen zu 
entnehmen, eine weitläufige Arbeit ist. 
Nun sind x — x t und y — y i die Differen 
zen zweier aufeinander folgenden Werthe 
von a; und von y, also die obigen A* 
und A?r, y i einer der Werthe von y also 
das obige y + Aj/; folglich ist 
, . . .A® 
,=( » +A! ' ) Äi 
Nun wird pag. 344 dieselbe Aufgabe 
mit Hülfe der Differenzialrechnung gelöst 
y 
und gezeigt, dafs s = -g—- ist. 
(»9 
_ A® y i . 
Da nun «, --—= so hat man das 
J Ay /AjA’ 
VA */ 
Uebereinstimmende beider Resultate an 
schaulich, wenn man für «/,=«/ setzt, 
wie geboten wird, und für Ay und A* 
die Grenzwerthe, welche aber wirklich 
mit der Gleichsetzung von x t mit x und 
von y t mit y hervorgehen. 
Es ist aus diesem Beispiele ersichtlich, 
dafs in dem Fall, wo die Differenzialrech-