Differenzial. 
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Differenzial. 
nung eintreten kann, die elementare Be 
handlung der Aufgabe Differenzenquotien 
ten und deren Grenzwerthe erst schaffen 
mufs, während die Differenzialrechnung 
sie ohne Weiteres in den Differenzialen 
liefert. 
Entwickelung der Differenziale 
aus Functionen von verschiede 
ner Art und Form. 
I. Differenziale algebraischer 
F u n ctione n. 
9. Ist eine veränderliche Gröfse die al 
gebraische Summe mehrerer veränderli 
chen Gröfsen derselben Art, von welchen 
jeder einzelnen ein D. zukommt, so ist 
das D. der Summe = der algebraischen 
Summe der D. der einzelnen Summanden. 
Denn es sei j/ = m±®±?d±s-{-.... 
welche Gröfsen alle von der Urveränder- 
lichen x abhängig sind. Für den Zu 
wachs A® 'von x seien die Zuwachse der 
selben Ay, A«> A®, Aw, A&.... 
so ist 
hiervon 
y + Ay 
y = u 
= m -f A« ± (® + A®) =*= (t® -f Aw) ^ (® + A®) + 
— U ±1) ± ± £ 
giebt 
Ay = A« ± A® ± A«c ± A® 
Da nun jedem einzelnen der Summan 
den der gegebenen Summe ein D. zu 
kommt, so kann der Zuwachs einer jeden 
beliebig klein werden, folglich auch deren 
algebraische Summe Ay und noch viel 
mehr Ax kann beliebig klein werden. 
Für die beliebige Abnahme der Zuwachse 
sind aber die Differenzenquotienten 
Ay _ A« ± A® ± Ai® ^ A ® 
Ax Ax ¿\x A x Ax 
zwischen den Veränderlichen und den 
Urveränderlichen die Grenzwerthe der 
Quotienten, d. h. die Differenziale der 
Yeränderlichen. 
. . &y du dv d io 0! 
Also sr = sp =*= k- =*= ¿T" ± »~ + 
Ox ox ox ox ox 
10. Ist eine Function das Product aus 
einer Constanten mit einer Yeränderli 
chen, der ein D. zukommt, so kommt 
auch der Function ein D. zu und dieses 
ist das Product der Constanten mit dem 
D. des veränderlichen Factors. 
Denn es sei y — Az und z eine Func 
tion der Yeränderlichen x, so ist bei der 
Annahme ad 9 
y + Ay-A(z + A®) 
hiervon y — Az 
bleibt A y — A A ® 
da der Gröfse z ein D. zukommt, so kann 
As unendlich klein werden, folglich auch 
AAs = A»/ und A*- iür die unendlich 
kleinen Zuwachse werden aber die Diffe 
renzenquotienten 
A V = A 
Ax A* 
zwischen den Functionen und der Ur- 
variablen die Differenziale der Functio 
nen folglich hat man 
9 y _ A 9® 
dx dx 
11. Ist eine Function das Product zweier 
Yeränderlichen, von denen jeder ein D. 
zukommt, so ist das D. der Function = 
dem ersten Factor mal dem D. des zwei 
ten Factors + dem zweiten Factor mal 
dem D. des ersten Factors. 
Wenn also y-u-z 
dy 8 s 9 m 
so ist 5T- = W • 5T“ + s • s— 
ax ox ox 
Denn es ist 
(.y + Ay) = (« + A u) (s + A ®) 
^its-j-MAs + sAM + Aw-A® 
hiervon y — uz 
bleibt Ay = (m + Am) A® + s A« 
also 
Ay / , . s As , Am 
Äi- t “ +A ” ) Ai + ‘Äi 
Für die beliebige Abnahme der 4 Zu 
wachse Ay, A®, Am und A* werden die 
Differenzenquotienten die Differenziale und 
u ist der Grenzwerth von m + A« 
8 y 8 z du 
folglich ist — W jr (- Z a - 
Ox ox Ox 
Man kann auch erklären: Für Ay = Am 
= As = A* = 0 entstehen die Differen 
ziale m + Am = m-f 0 = m u. s. w. 
Anmerk. Ist y = Auz 
so hat man —- • y = uz 
f! =( “ +A 
A® . Am 
- -f s — 
Ax Ax 
A« 
+ s - 
8 y 8; 
Ä dx dx _ 
8 y . dz du 
woraus ~ = Au s— -f Az 5— 
ox ox ox 
12. Ist eine Function das Product be 
liebig vieler (n) Yeränderlichen, von de 
nen jeder ein I). zukommt, so ist das D. 
der Function = einer Summe von nFac- 
toren, voii denen jedes Glied das D. eines 
Factors der Function multiplicirt mit dem 
Product der übrigen (m —1) Factoren ist. 
Wenn also y — u • v • 1® .... z 
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