Differenzial. 
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Differenzial. 
mit Constanten algebraisch verwickelt, 
sie sind also Functionen von x, und 
eben so wie y, sind auch dort , «, v 
Functionen von x. 
Man beachte, dafs bisher immer nur 
9« 9 z Bu 9 v , 
d> k> »i."- 
sind, und nur für diese Fälle, nämlich 
wo in Beziehung auf die Urveränderliche 
x differenzirt worden ist, sind bisher die 
D. ermittelt. 
Es kommen aber auch Fälle vor, wo 
das D. einer Function nicht unmittelbar 
auf die Urveränderliche genommen wer 
den kann; wenn nämlich die Stamm 
function y die Function einer vermitteln 
den u und u als Function der Urva- 
riablen x, also u = tpx gegeben wird und 
wenn zugleich die Function y auf u trans- 
cendent ist: 
Wenn y- a r , y = arc (cos = x),y = logn x, 
dann ist die Function eine unmittelbare 
von x, wenn aber y = a"" , y = logn (a + nx) 
u. s. w. so sind vnx — u, a + nx = z die 
Variablen und es ist durch Bildung der 
Differenzenquotienten und deren Grenz- 
werthe nur |^, nicht aber zu er 
mitteln. Damit nun diese Functionen 
auf die Urveränderliche differenzirt wer 
den können ist ein allgemeines Verfah 
ren dafür zu ermitteln erforderlich und 
hiervon handeln die 3 folgenden Sätze. 
15. Ist eine veränderliche Gröfse y von 
einer veränderlichen Gröfse z abhängig, 
diese wieder von einer dritten Veränder 
lichen x und die erste y hat ein D. in 
Beziehung auf ihre nächste Veränderliche 
z, diese ein D. in Beziehung auf x, so 
hat sie auch ein D. in Beziehung auf 
die eigentliche Urveränderliche x, und 
zwar ist dies D. = dem Product ihres D. 
in Beziehung auf z mal dem D., welches 
z in Beziehung auf x hat, d. h. es ist 
9 y By 9 z 
Bx 9z X 9# 
Denn sind die mit y, z, x zusammen 
gehörigen Zuwachse Ay, As und A^> 
also noch endliche Gröfsen, so ist offenbar 
Aj/ = Ay x A* 
Ax A s A* 
bei beliebiger Abnahme von A x nehmen 
auch Ay und A& beliebig ab und alle 
3 können oo klein werden. Für diesen 
Fall verwandeln sich die 3 Differenzen- 
quotienten in ihre Grenzwerthe; folg 
lich ist 
9 y _ 9?y 9 z 
9a: 9s X 9a: 
16. Sind 2 veränderliche Gröfsen y, s 
von einer 3ten veränderlichen x abhän 
gig, in Beziehung auf welche beide Dif 
ferenziale haben, so ist der Quotient die 
ser D. = dem D. der einen Veränderli 
chen y in Beziehung auf die zweite z, 
wenn das D. dieser zweiten den Nenner 
des Quotient aus macht, oder es ist 
/9j/\ Bz 
\9x! . 8 z /daA 
un<1 -=w 
öy 
8 z 
\BxJ 
By 
Bx 
Denn wie in No. 15 ist hier 
m 
'AxJ 
Ay. 
Az- 
VAa: 
'Ax' 
■- und = 
A y 
(-) 
\Ax' 
VA x) 
Also ist 
und es werden diese Differenzenquotien 
ten zu ihren Grenzwerthen, wenn Ax, 
Ay, Az beliebig abnehmen. 
17. Ist eine veränderliche Gröfse y von 
einer veränderlichen Gröfse x abhängig, 
so ist es auch diese von jener und das 
D. der ersten y in Beziehung auf die 
zweite x ist = dem Quotient 1 dividirt 
durch das D. der zweiten in Beziehung 
auf die erste. 
By 1 
Bx /8;r\ 
W 
Denn es ist wie No. 15 
A y = 1 
Ax /A®\ 
VA y> ^ 
Bei beliebiger Abnahme der Differenzen 
Ax, Ay verwandeln sich aber die Dif 
ferenzenquotienten in deren Grenzwerthe. 
II. Differenziale transcendenter 
Functionen. 
A. Exponential- und logarith 
ms sehe Funtionen. 
18. Ist die Function eine einfache Ex- 
ponentialfunction, deren Grundzahl eine 
Constante, also 
y — aJC 
so hat man y + Ay = «*+A* 
folglich A y — et'-f-A * — a x ' — a r [a Ax — 1] 
A V a Xr -l 
und 
- - = «*' 
Ax 
A x 
Der Grenzwerth des Zuwachsquotien 
ten der Function ist also a x mal dem 
a Ax ' - 1 
Grenzwerth von —— für die beliebige 
f \ & 
Abnahme von Ax. 
Nun enthält diese letzte Gröfse die Ur- 
a& x - 1 
variable x nicht, mithin mufs 
Ax 
zum Grenzwerth eine Constante haben,