Differenzial.
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Differenzial.
die durch die Basis a der Exponential-
gröfse bestimmt -wird.
Denn da man sich unter A* als Zu
wachs einer variablen Zahl x jede belie
bige constante Zahl vorstellen kann,
eine Constante aber (s. No. 7) keinen
Grenzwerth hat, so hat auch /\x keinen
Grenzwerth; allein der Quotient —
A®
selbst wird zu einem Grenzwerth, wenn
man die Constante A# unendlich klein
wählt [oder nach No. 4, wenn man A* = 0
setzt, wo dann
a A x ‘ — i
Ax
.st a T •
l
a - 1
—— das D. von a J ] und setzt
man für diesen constanten Grenzwerth
die beliebige Zahl ft, so hat man unter
der Bedingung, dafs A# unendlich klein ist
1 ,
-ä=-=*
oder wenn man Ait = — setzt, unter der
n
Bedingung, dafs n unendlich grofs wird:
1
(1)
n
oder a entwickelt
a = ^1 + — (2)
Aus Gleichung 1 erhält man eine Ent
wickelung von ft in eine Reihe nach fort
laufenden Potenzen von a und aus Glei
chung 2 eine Entwickelung von a nach
Potenzen von k.
Aus Gleichung 1 hat man
J__i JL_, 1
lt = n (a— 1) L« " + a « -f a « +.... |
ein Ausdruck, welcher zu einer brauch
baren Reihe nicht umgeformt werden kann.
Setzt man dagegen a= i + 6
so erhält man nach dem binomischen
Satz
! r i.l_l 1 .l_i.jL._2
an =(1 + 6)« =1+ — 6+-"— 62 + _ w » ¿3 +
»1*2 1-2-3
mithin
i 1 • — -1
n 1-2
l
4= +
1.1-1-1
n n tl
2
6* + ...
und wenn man beiderseits mit — dividirt
71
„v . !-i 1-1.1-
k = = j + * h‘ + “ !•_
1 1-2 1-2-3
71
6 3 +.
— 1
— m + 1
6"»
Läfst man nun n beliebig wachsen,
also — beliebig abnehmen, (nach No. 4:
setzt man — = 0) so entstehen für alle
n
Glieder deren Grenzwerthe und es ist
2 1 2-3 2-3-4 T
also
Ä = A-46 2 + ^6 3 -i6 4 + I6 5 -....
und wenn man für 6 seinen Werth (a— 1)
setzt:
h = (a- l)-4(fl-l) 2 + l(«-l)3 + ->-l) 4 + (3)
_Diese Reihe ist der in dem Art. „Ba- log a = k • M
sis eines Logarithmensystems“ l 0 q a
pag. 327 entwickelte Zähler in dem Aus- und ft = (4)
druck des Logarithmus der Zahl a. Wenn . ™
man also, wie dort, den Modul des Lo- Nun ist nach der Voraussetzung
garithmensystems mit. M bezeichnet, so ^ a ' T _ >. „_
hat man
