sin A x < A*< f 9 A x
sin A * = sin A * = sin A x
sin A 37
A*
Function eine Function von a;,=
so ist nach No. 15
8ar 8a: f x 8a; z
B. Kreisfunctionen.
20. Ist die Veränderliche der Sinus,
der Bogen die Urveränderliche, also
y = sin X
so hat man bei dem beliebigen Ax als
Zuwachs von x
V + A y = sin (x + A x)
Und A y = sin (x + A x ) — sin x
— sin X-COS/±X-\-COS X'sin/S x ~sin X
, , Ay sin/Sx . ]—cosAx
daher — = cos x • — sm x •
_ &x {±x A«
Bei beliebiger Abnahme von A* kommt
cos A x immer näher dem Werthe 1
und folglich der Grenzwerth von
1 — cos A x = 0
Daher der Grenzwerth von
. 1 — cos A x
sm Ax
> cos A x
Für a; = 0 wird cos ar = l, durch belie
bige Abnahme von Ax kann also cos Ax
dem Werth 1 beliebig nahe gebracht wer
den und folglich ist der Werth 1 auch
der Grenzwerth von Stn ^- X , weil er von
A®
dem Grenzwerth 1 und der Constanten 1
eingeschlossen ist.
Daher ist für die beliebige Abnahme
von Ax der Grenzwerth von
Ay _
Ax
8«
~ — cos x
öx
21. Ist die Veränderliche der Cosinus,
der Bogen die Urveränderliche,
also y = cos x
so hat man
Setzt man -A-
so ist y = sin z
und nach No 19 und 15
dy
dx
dz
dx
/» (n \
= cos 1 X s = — COS [ — .T I = ■
V 2 ) dx V2 /
so ist
22. Ist die Veränderliche die Tangente, der Bogen die Urveränderliche, also
y= lg x
, , . sin (x 4- A x) sin x
Ay = ig(x + Ax) - ig x =
cos (x + A x ) cos x
_ sin (.r + A x ) COS X — cos (x -f- A x ) sin x sin (x + A x — x )
cos (x -(- A x) cos x cos (x -f- A x ) C °S x
sin A®
cos (x -f- Ax) COS X
also =
sin A x
cot
Ax cos (x +Ax) cosx Ax so jgt
Für die beliebige Abnahme von Ax
ist cos x der Grenzwerth von cos (x 4- Ax) ,, n a ir .., n
und nach No. 19 der Grenzwerth von Und S6tZt m8n
sin Ax
Ax
A y _ 1
Ax cos X • COS X
oder
8 y _ 8 lg x _ 1
8a:
y = cot x
■ = 1, daher hat man den Grenz
werth von = • 1
S X ‘ cos x
= sec 2 x = 1 -¡-lg 2 x
• 8 x cos ‘
23. Ist die Veränderliche die Cotan-
gente, der Bogen die Urveränderliche, also
so ist
und
also
Nun ist
s F As = y- (x FA 3 ')
Ax
-1
A* =
As
A x
Ay _ tg(*+As)-_ As
Ax
A x
As
- _ t ' 1 + A*)- ig*
As
