_ - = — tgx
Ö X COS X COS X
40. Ist die Veränderliche
il = lofjn (tg x)
so hat man
0 y 9 logn tgx 0 lg x _ sec '*x _ 2
0a; 0 a; tg x tg x sin 2 x
41. Ist die Veränderliche
y = logn (cot x)
so hat man
0 cot x — cosec 2 a- — 2
cot x
cot x
sin 2x
0y dlogn(secx) _ 0 sec x tg x • secx _
0a; 0 x sec x sec x ^
dy dlogn^cosecx) 0 cosec x — cot x • cosec x
— ro< x
Differenziale von Functionen die
von mehreren Veränderlichen ab
hangen.
44. Wenn eine Function von mehre
ren Veränderlichen abhängt, so ist dies
nur möglich, wenn alle diese Veränder
lichen wieder Functionen einer und der
selben Urveränderlichen sind, welche auch
eine der eben gedachten Veränderlichen
selbst sein kann.
Es sei y — f (m, v, w, z....)
so ist jede der Veränderlichen w, v, w, z ...
wiederum eine Function einer Urverän
derlichen x, und welche man um dies zu
bezeichnen in die obige allgemeine Dar
stellung als Veränderliche mit einführen
kann und schreiben;
y = f (u, v, w, z .... x)
Das D. dieser Function (y) in Bezie
hung auf die eigentliche Urveränderliche
(a;) ist nun gleich der Summe der Pro
dukte aus den Differenzialen der Function
(?/) in Beziehung auf jede der Veränder
lichen als Urvariable genommen, multi-
plicirt mit dem D. dieser letzten in Be
ziehung auf die eigentliche Urveränder
liehe (a-) oder
dg _dy du dy dv dy dw dy 0 z
0a; du dx dv dx dw dx 0z dx
(1)
Um dies zu beweisen, soll zuerst der
einfachste Fall genommen w r erden, näm
lich der dal's y nur von 2 Veränderlichen
w, z abhängt.
Also y = F (w, z)
und es sei u — fx,z—yx
so ist tt + Aw-fC^ + A®)
z + A 5 = <f> (a; + A
y + Al/ = F(u + Am, s + As)
A y U(m + Am,z+As)-F(w,z)
woraus —- = —
A«
Um nun die Function nach beiden Ver
änderlichen differenziren zu können, dif-
ferenzirt man sie nach jeder von beiden
einzeln, indem man jedesmal die andere
sich constant denkt. Demnach schreibt
man den Differenzenquotient
Ay _ F(u + Am, s 4- As) - F(u, z + As) + F(u, z + As) - F(u, z)
A* A*
_ F ( M + Am, z + As) - F(«, z -|- As) _ Am F(m, z + As) — F(m, z) . Az
A m ¿\x A s A«
