Differenzial. 
27G 
Differenzial. 
Bh 
— 3 = 4 (a + 6a: 3 ) 3 • 66 + 4 • 3 • (a + hx 3 ) 2 • hx (36a: 2 + 1) + 4 • 3 • 2 • (« + ¿>* 3 ) (36a: 2 ) 2 
= 24 • b (ci -f 6a: 3 ) (a 2 + 3aa: + 1 labx 3 -f 12 6 a: 4 + 106 2 a: 6 ) 
Differenzirt man das zweite D. in No. 50 direct, so erhält man 
12 • bx (a -f bx 3 ) 2 (3 + 6bx 2 ) + (3a; + 2« + 2bx 3 ) (a + bx 3 ) 2 • 12 • b 
-j- 12 bx (3ar + 2ß + 2bx 3 ) • 2 (a -f- 6a; 3 ) • 36a; 2 
8 3 s 
gibt reducirt das eben angegebene 3 
52. Die höheren Differenziale der tri 
gonometrischen Functionen sind aus den 
vorhergehenden leicht abzuleiten, wenn 
der Bogen als Urvariabel gegeben ist, 
weil die ersten D. ebenfalls trig. Func 
tionen sind. 
Es ist 8 sin x — x 
also 8 2 sin x = B cos x = — sin x 
B 3 sin x — B (— sin x) — — cos x 
8 4 S1H X — 8 (— cos x) = + sin x 
u. s. w. 
So ist bei allen übrigen Functionen, 
dem cos, der lg u. s. w. zu verfahren; 
Formeln abzuleiten ist ebenfalls nicht 
schwierig. 
Ist dagegen der Bogen wieder Func 
tion einer anderen Urveränderlichen, dann 
erhält man 
Bsinz Bz 
ö,— = cos * • J— 
d x ax 
B 2 sin z 
Bx 2 
also das D. aus einem Product; man hat 
nach No. 11, und für höhere D. nach 
No. 48 zu verfahren. 
53. Ist die Function eine Exponential- 
gröfse mit constanter Grundzahl, so fin 
den sich die höheren D. folgender Art. 
Be'- 
Es ist gg- = e' (pag. 265 No. 7) 
folglich sind bei dieser deshalb so merk 
würdigen Function alle höheren D. einan 
der gleich und deren Anzahl ist unzählbar. 
Es ist = a' logn a (pag. 265 No. 6) 
. B 2 a x Ba x 
mithin 'g- j = logn n • g- = a' (lognay 
also _ **. — a' (logn a) 3 
an* 
. B''a x . 
überhaupt -<r = a' (logn n)’> 
ax " 
Ist der Exponent eine abhängig Ver 
änderliche und es sollen in Beziehung 
auf die Urvariable die höheren D. ge 
nommen werden, so hat man 
also nach No. 48 
B 2 e z _ B 2 z Bz Be~ 
Bx 2 Bx 2 Bx Bx 
BH /8s\ 2 | 
Bx 2 \8a:/ 
und so hat man auch für die weiteren 
höheren D. nach No. 48 zu verfahren. 
Ein Gleiches gilt von «*•. 
Es ist 
^ = a~ g “ logn a (pag. 265, No. 11) 
also 
°<ier=«=[g^i» •» + (§-*'««) j 
u. s. w. 
54. Die höheren D. von logarithmi- 
schen Gröfsen entstehen folgender Art: 
Es ist 
BJoyn_x = _1 ( 2 66, Forme , 2) (1) 
da; x 
also 
8 2 ln i 
8 a; 2 
B 3 ln ; 
= 8 — = --• 
= 8 (-^)=+ 2 ? 
= 28 —. = - 6 Ai 
(2) 
(3) 
(4) 
8a: 3 
8 4 ln x 
Bx 4 
u. s. w. 
Es ist(pag.265, Formel 1) a— 10 gesetzt 
8 log • br x _ 1 
8a: x ln 10 
also 
(5) 
8 2 l • 6r x _ 1 
8a: 2 ln 10 
8 3 l • br x 
8 — = - 
x 2 ln 10 
8a: 3 ^ x 3 ln 10 
(6) 
(?) 
11. s. w. 
Ist die Veränderliche z — fx von einer 
Urveränderlichen x abhängig, so ist 
(p a g. 266, Formel 4) (8) 
ox z ox 
Man hat also für die höheren D. wie No. 53 
nach No. 48 zu verfahren. Man erhält 
8 2 ln z _ 1 
Bx 2 z 
8 2 z 8 z l 
8a; 2 8a; z 
1 8*i 1 8 z 
z Bx 2 z 2 8a: 
(9)