Differenzialgleichung. 
286 Differenzialgleichung. 
s-l 2 9z 
. 8 '”r+i = ?^i 
Setzt man z ]/— 1 für z, so erhält man 
sj/^1-1 2 9*^-1 2 05^-1 
9 ln 
2d: 
,/Z7 + i (5 V- 1)2-1 -s 2 -l 5 2 +l 
V-i 
Nun ist Formel 120 
9 arc lg s = 
9s 
5 2 + 1 
folglich ist 
19 ln ——— . — = -29 arc </7 z • i/— 1 
+ 1 + 5 ]/— 1 
Setzt man also in dem Beispiel No. 3, 
während der Operation des Integrirens 
j/4ac — 6 2 = J/№ — 4«/< |/ — 1 
so erhält man statt des ersten Integrals 
das zweite, und setzt man 
J 6 2 _ 4ac — j/4ac — b 2 j/— 1 
so erhält man statt des zweiten Integrals 
das erste. 
Differenzialgleichung ist eine Glei 
chung die aufser der Veränderlichen noch 
Differenziale derselben enthält, also eine 
implicite Function zwischen der Verän 
derlichen und ihrem Differenzial mit der 
Urveränderlichen; oder eine Gleichung, 
in welcher das Differenzial einer Function 
y in Beziehung auf die Urveränderliche x 
sowohl als eine Function von der Func 
tion y wie von der Urveränderlichen x 
erscheint. Z. B. 
(2ay + bx ) ^ + 2cx = 0 (!) 
ist eine D., in welcher x als Urverän 
derliche bezeichnet ist. Schreibt man die 
Gleichung 
(2ay + bx) 9y + (% + 2cx) dx — 0 (2) 
so ist nach Wahl y oder x als unverän 
derlich festzusetzen. 
Die D.gleichungen entstehen dadurch, 
dafs man Gleichungen, die den Zusam 
menhang zweier Veränderlichen ausdrük- 
ken, diff'erenzirt, um eine Gleichung zwi 
schen den Veränderlichen und deren Dif 
ferenzialen in gegenseitiger Beziehung 
zu einander zu erhalten, wie die vor 
stehende D.gleichung durch Differenzi- 
rung der Stamm- oder Integralgleichung 
u — ay 2 + bxy + cx 2 = 0 (3) 
entstanden ist. 
Es ist nämlich nach dem Art.: Dif 
ferenzial 
woraus Gleichung 1 zusammengezogen 
wird; so wie man durch Integriren die 
ser D.gleichung wieder die Integralglei 
chung erhält. 
Man hat nun das Differenzial von y in 
Beziehung auf x 
®y_ by + 2cx 
9a: 2ay -f bx 
und das D. von x in Beziehung auf y 
dx _ 2ay + bx 
9y by -f 2ca: 
Will man diese Differenziale für einen 
bestimmten Werth von s oder y angeben, 
so hat man y oder x aus der Stamm- 
f leichung 3 zu entwickeln und die er- 
altenen Wert he in Gleichung 4 oder 5 
einzusetzen. 
2. Wenngleich nun die Differenzirung 
einer gegebenen Gleichung nach der in 
den vor. Art. gezeigten Weise immer zum 
Ziele führt, so hat man in der Anwen 
dung von Theildifferenzialen (s. Differen 
zial No. 45) und nach deren Ermittelung 
in einer Formel zu Einsetzung derselben 
eine leichtere und schnellere Auffindung' 
von °der „ , besonders wenn eine 
da: äy 
complicirte Stammformel gegeben ist. 
Es ist nämlich 
9« 
9m 9 w , 9m 
9y X 9® + ¥x ~ 0 
(5) 
~c\~ ist das D. der Formel für u wenn x 
oy 
constant und y veränderlich gesetzt wird. 
5-^ das D. der Formel für u. wenn 
da; 
darin y constant und nur x veränderlich 
gesetzt wird. 
Demnach hat man für Gleichung 3 
du 
9m 
si = h + 2ci 
und es ist 
9 1/ 
(2ay + bx) g- + ¿(/ + 2ca: = 0 
wie schon No. 1 angiebt. 
3. Um die Richtigkeit der Formel 5 
allgemein zu erweisen, sei 
u = f(x,y) = 0 
eine Gleichung, der für alle zusammen 
gehörigen Werthe von x und y Genüge 
geschehen mufs. Setzt man daher die 
folgenden zusammengehörigen Werthe 
y + Ay, a: + A«, M + A«, so ist