das Resultat, dals
J) ~y - A - /?.r —
eine positive Gröfse ist
Setzt man dagegen den gröfsten Werth
G, also
a n y
± - 1 • 2 • 3 .... nN
und schliefst wie vorhin, so erhält man
das entgegengesetzte Resultat, nämlich
dafs
D' — y — A — Bx — — -—ß x «
1 • 2....n
eine negative Gröfse ist.
Man hat also, beide Fälle zusammen
gestellt
y - A — Bx — Cx 2 - -~x">0
(n)
- A — Bx — Cx 1 — — — x n < 0
; (»)
aber
y — A — Bx — Cx 2 — — Nx n
ist immer zwischen beiden Gröfsen be
griffen, daher ist
ij-A—Bx-Cx 2 — — Nx'‘<ß-ß x"
(n)
gesetzt, die Reihe
y — A — Bx — Cx 2 — Nx " = 0
macht. Bezeichnet man I mit # selbst
als den bestimmten Werth von x, bis zu
dem x von 0 ab wachsen soll dürfen,
und es sei 1 die Zahl zwischen 0 und 1,
welche mit x multiplicirt, denjenigen
Werth von x angibt, bei welchem die
Reihe =0 wird, so hat man, den zu Ix
£) /1 y P Ö /; W 1
gehörenden Werth von g-- mit [ ~J ^
bezeichnet, y in einer begrenzten Reihe
für vollkommene Gleichheit:
»=*=W. + ß*H + [g].-® +
X n - 1
0 (n- .l)
ln den wenigsten Fällen wird der Zah
lenwerth von l zu ermitteln sein. Es
ist aber Hauptsache zu erfahren, ob für
ein bestimmtes x die Mac Laurinsche
Reihe convergirt oder nicht; wenn man
daher für l die beiden Werthe nimmt,
für welche das Ergänzungsglied den gröfs-
ten und den kleinsten Werth annimmt,
und beide Werthe des Gliedes können
mit Yergröfserung von n beliebig klein
werden, so convergirt die Reihe und man
kann die Function mit beliebiger An
näherung bestimmen.
Anwendung des Ergänzungs
gliedes.
In dem Beispiel No. 3:
y = (a-f- *)"' ist das n + lte Glied
= rT— .— = m (m - 1) (in - 2).... (m - n + 1) a»'
Wird nun x = kx statt 0 gesetzt, dann
entsteht für dieses Glied
1) (in — n + 1) («-f- Xx) m — n
Ist m ganz und positiv und man nimmt
n = m + i so wird der letzte Factor des
Coefficienten, nämlich m — n + 1 = 0 und
also das Ergänzungsglied =0- Die Reihe
drückt die Function y vollständig aus,
das mte Glied ist das letzte, und heifst
m ’in — 1 3*2*1
a"‘—x m — x m
1*2 m — 2 • m — 1 • m
