Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
x m 
und dieser Werth wird mit dem Wachs 
thum von n immerfort kleiner, wenn 
x < a. 
Nimmt man für X den gröfsten Werth 
1, so wird der Werth des Ausdrucks am 
mit ungeändertem x stehen, oder es bleibt 
zunächst das (« -f- l)te Glied 
T 8 "fx 1 z " 
L 8a;" Ja; (n) 
kleinsten 
\«-|-a;/ 
und kann um so mehr mit dem Wachs 
thum von n immerfort kleiner werden 
wenn x <a ist. In beiden Fällen con- 
vergirt die Eeihe um so mehr je kleiner 
x gegen a ist. 
tn n m • , m-m—1*»»—2 m—n+1 
Der Coefficient 
1 • 2 • 3 n 
ist bei acht gebrochenem in immer ein 
achter Bruch und für ein ungerades n 
positiv, für ein gerades negativ, er wird 
mit dem Wachsthum von n immer klei 
ner, w'enn gleich die aufeinander folgen 
den Abnahmen immer geringer werden. 
Ist in > 1 so wird bei n = m der Coeffi 
cient sehr nahe an 1; von hier ab nimmt 
er mit dem Wachsthum von n in der 
selben Weise immerfort ab, wie bei acht 
gebrochenem in. 
Es ist mithin die Reihe für x < a con- 
vergirend und es läist sich auch darthun, 
dafs wenn in negativ gebrochen gröfser 
oder kleiner als 1 ist, für x < a die Reihe 
convergirt. 
9. Die Taylorsche Reihe, No. 4 ist mit 
Hülfe der Mac Laurinschen entwickelt, 
das (n + l)te Glied derselben ist in Reihe 
No. 5 
(;»-n4-l)sm—n A_ 
(«) 
/ 8 " 7 z\ s " 
\ 8 "5 /0 (n) 
(n) 
Es ist folglich der erste Factor dieses 
Gliedes, welcher in dieser Mac Laurin 
schen Reihe durch Umgestaltung das 
(w -f l)te Glied zum Ergänzungsgliede 
macht, nämlich zu dem Gliede: 
L 8 "s J X z in) 
Nun ist aber in der Taylorschen Reihe 
das (n + l)te Glied (Reihe 6) 
V 8 a;"/ (n) 
und der erste Factor dieses Gliedes ist 
dadurch entstanden, dafs bei dem vor 
hergedachten (»+ l)ten Gliede der Mac 
Laurinschen Reihe in dem ersten Factor 
nach ausgeführter Differenzirung in Be 
ziehung auf s, z = 0 gesetzt worden ist, 
und es bleibt mithip der Factor 
(«) 
Um nun dieses (w + l)te Glied zum 
Ergänzungsgliede zu machen wird Xz ein 
geführt und das Ergänzungsglied ist 
r8"/a;l s" 
L 8a;" Ja; + Xz (n) 
d. h. es wird von fx das nte Differenzial 
genommen, in dieses dann x -f Xz für x 
j» 
gesetzt und mit — multiplicirt. Z. B. 
(«) 
(x + z)»' 
Das n + lte Glied der Reihe ist 
m • (m — 1) (m - 2) .. 
als Ergänzungsglied wird es 
m(in— l)(m—2) (»»—nd-l) (ic-J-A z-)"*—" • —r 
w 
10. Die Reihe für y + /\y, No. 5, wenn 
y—f{x,z) ist, besteht aus eben so vielen 
Reihen, als man Dimensionen von As 
nehmen will -f noch einer. Diese Reihen 
sind sämmtlich Taylorsche, und man hat 
in jeder das Ergänzungsglied, in welchem 
der erste Factor das nte Differenzial von 
y ist. 
Für die erste Reihe 
r8"?/4 Aa;" 
L8a;"J x + Xx (n) 
für die zweite Reihe 
Aa; I 8 "y I A"" —1 
1 l 8a; • 8" —l z-J s 
für die dritte Reihe 
Z^ 2 1” 8 " y _ 
(2) L8a; 2 -8" — 2 z J - + Xz (n-2) 
II. Bestimmung der Werthe von 
Functionen die für bestimmte 
Werthe der Urveränderlichen in 
der Form erscheinen und un 
bestimmt werden. 
Wenn eine Function in der Form eines 
Quotient dargestellt ist, so gibt es Fälle, 
wo für bestimmte Werthe der Urverän 
derlichen Dividend und Divisor zugleich 
0 werden. Z. B. 
-(-/s (n— 1) 
A$" 2 
wo y für x — a den Werth 
x — a 
i 2 - a 1 _ 0 
a — a 0 
erhält, der unbestimmt ist. Man mufs 
daher den Ausdruck erst dergestalt um 
formen, dafs Dividendus und Divisor be-