Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
derum für ji, und man mufs, wenn 
(x — «) 2 der gemeinschaftliche Factor in 
Zähler und Nenner ist, noch einmal dif- 
ferenziren um den reellen Werth der Func 
tion für x — a zu erfahren. 
v . 5a; 3 — ll«£c 2 4- la 2 x — a 3 
Fs sei y = s 
x- — 2ax + «- 
so erhält man den Quotient der Diffe 
renziale 
_ 15a; 2 — 22 ax + 7 a- 
2x — 2« 
folglich für x = a den Werth von y aber 
mals = —. 
0 
Aber noch einmal differenzirt 
30a; -22 a 
~ 2 
also für x = a • y — 4a. 
Von der Richtigkeit überzeugt man sich 
elementar, wenn man Zähler und Nenner 
der gegebenen Function durch den Nen 
ner dividirt, man erhält 
15 a;— 11« 
5a; 3 - 11 ax- + 7« 3 a; - « 3 _ _ x 2 - 2«a? + o 2 (x-a)(x-a) 
x 2 - 2ax + « 2 ~ ° X a x 2 - 2«a; + a 2 ~ ^° X ~ ° J (x - a) (x - a) 
Eine ^ solche _ Eigenschaft hat die als X* [1 + ln a;] - 1 _ *x+l (l + l n x) - x 
zweites Beispiel (No. 1) aufgeführte Func- 1 — ~ —: 
0 _ 14- _ xi 
tion, welche — für x = l wird: x 
X x — x und auch dieser Quotient wird für x — 1, 
1 — x + logn x 1 2 (1 + 0) — 1 _ 0 
Den Quotient der Differenziale erhält —1 + 1 0 
man nach den Differenzialformeln 146 Differenzirt man noch einmal, so er- 
«nd 84: hält man 
**• — + (1 + ln x) 2 x-x 
—j- = 
x 2 
Für x — 1 also ist 
y = -l 2 [l+(l + 0) 3 1] = — 2 
Dieses Resultat liegt nun offenbar darin, 
dafs wenn man in der gegebenen Func 
tion -—-— Zähler und Nenner 
1 -- x + ln x 
mit x — 1 dividiren könnte, den Werth 
xx+i (i + i n x ) _ x 
— — erhalten wurde,weil 
x — 1 
Zähler wie Nenner die Gröfse (x — 1) als 
Factor enthält und dafs wiederum der 
Zähler des letzten Quotient = ist 
(x — 1) x x +i [1 -f (1 -)- ln x) 2 x~\. 
So kann in dem Zähler und in dem 
Nenner einer gegebenen Function der 
Null machende Factor (x — a) «mal ent 
halten sein; alsdann erhält man erst mit 
den nten Differenzialen des Zählers und 
des Nenners den reellen Grenzwerth der 
Function für x — a. 
4. Befindet sich der Factor (x — a), der 
die Function für den Werth von x = a 
zu - - macht, in dem Zähler »mal, in dem 
Nenner (n — m)mal, wo m<n ist, so er 
hält man nach (m — n)maligem Differen- 
— xx+ 1 [l + (l + ln a;) 2 «-] 
ziren, wenn man dann x = a setzt, einen 
reellen Nenner, der Zähler aber, welcher 
den Null machenden Factor noch ein- 
oder mehrmal enthält, bleibt Null. Mit 
hin ist die gegebene Function = 0 für 
x — a. 
Z. B. die Function hat für 
x (x -r- «)“ 
x — a den Grenzwerth —(x - a) und für 
X 
x — a ist derselbe = 0. 
Befindet sich der Null machende Factor 
öfter in dem Nenner als in dem Zähler, 
so wird nach (n — m)maligem Differen- 
ziren der Zähler reell, der Nenner bleibt 
Null, der Quotient also unendlich; d. h. 
für x = a existirt die Function nicht. 
Z. B. y = - 3 a 
x* — ax 1 — a t x + «■’ 
wird (für x — a) — —. 
Man erhält den Quotient der Differen 
ziale 
2a; 
3a; 2 — 2«a; — a 2 
für x den Werth a gesetzt entsteht