Differenzialrechnung. 
mithin ist die gegebene Function für 
den Werth x = a nicht vorhanden. 
5. Der Ausdruck einer Function wird 
auch dadurch unbestimmt, dafs für einen 
bestimmten Werth a der Urveränderli- 
chen x, Zähler und Nenner oo anstatt 0 
werden, indem die Factoren statt 
x — a 
(x — a) in ihnen sich befinden. Dann 
mufs man den Ausdruck durch Trans 
formation auf eine Form ~ für x = a 
zurückbringen. Z. B. 
y _ l 9 (n — x) 
— enthalten 
x — a 
Transformation der Art erforderlich, dafs 
der zweite Factor in dem Quotient — 
umgewandelt wird, so dafs die Function 
die Form annimmt. Z. B. 
0 
V = t 9 
(f-) 
X lg x 
für x = wird y 
2 J 
: 0 X co 
1 
ändert man nun lax in ■—— so hat man 
cotx 
tg x 
1 9 
für x = —- wird y = 
Schreibt man 
V — 
(i~ x ) 
cot X 
nun — für tg so erhält man 
cos 
y = 
_ sin (n — x) • COS X 
cos (n — x) • sin X 
wo fiir x = -- die Function y 
steht. 
Nun differenzirt wird 
ent 
und es entsteht für x — — der Werth 
1^0 _0 
0-1 0' 
Nun Zähler und Nenner differenzirt, 
gibt 
— sin (n — #) sin X — COS X cos (n — x) 
cos (jl — x) COS X -f- sin x sin (n — X) 
für x~ n ~ hat man nun 
-1 .1-0-0 
V ~ 0 • 0 + 1 • 1 ” ” 1 
6. Erscheint der Werth einer Function 
für x = a in der Form ~ oder so sind 
dies keine unbestimmten Werthe mehr: 
in dem ersten Fall ist die Function = 0, 
im zweiten Fall ist sie unmöglich. Z. B. 
cot X . 71 . , 0 , . , 
—7 \ für x = — wird und ist = 0. 
tg (n — x) 2 00 
Transformirt man zur Probe den Aus 
druck in sin x und cos x, so erhält man 
ihn =.——■J V = - cot 2 x, welches für 
sin l x 
= -~r den Werth =0 gibt. So wird 
TT 
für x = -- der Werth des umgekehrten 
Bruchs = — tg 2 x = - oo. 
7. Auch ein Product als Function wird 
unbestimmt, indem der eine Factor 0, 
der andere =o wird. Es liegt dies wie 
der darin, dafs in dem ersten Factor der 
Factor (x — a), in dem zweiten der Factor 
y~ — 
= 1 
cosec 2 x — 1 
8. Es gibt Fälle, in welchen man die 
vorgetragene Methode nicht anwenden 
kann, nämlich da wo die Differenziale 
des Zählers und des Nenners von jeder 
Ordnung = 0 oder oo werden. 
Z. B. (x — a)c hat die Differenziale 
(x — a) 1 ' Ina, (x — x) v ln 2 a u. s. w., welche 
sämmtlich für x = a zu Null werden. 
\/x — a hat die Differenziale 
1_ _ J_ 1_ 
2\/x - a 4 V(x-a) 3 
u. s. w. die für x = a sämmtlich unend 
lich werden. 
Für solchen Fall setzt man in dem 
Ausdruck für y den Werth x = a -f- einem 
Zuwachs A»’, entwickelt Zähler und Nen 
ner in Reihen, die nach Potenzen des 
Zuwachses fortschreiten, und dividirt hier 
auf Zähler und Nenner durch die höchste 
Potenz des Zuwachses, die in allen Glie 
dern gemeinschaftlich ist, w r o dann Glie 
der entstehen, die den Zuwachs nicht 
mehr enthalten. Setzt man hierauf A* = 0, 
so erhält man den reellen Werth von y 
für x—a. 
v'x — 1 /a + i/a