Differenzialrechnung. 
299 
jenen benachbarten Werthen gehörende 
Maximum und kleiner als das zu dem 
selben gehörende Minimum der Function. 
Betrachtet man diejenigen gröfsten und 
kleinsten Werthe, die gröfser und kleiner 
sind als alle übrigen nur möglichen 
Werthe, welche die Function annehmen 
kann, so heifsen diese gröfsten und klein 
sten Werthe absolute Maxima und 
Minima, jene nur bis zu bestimmten 
Grenzwerthen sich erstreckenden heifsen 
dann in Beziehung auf diese, relative 
Maxima und Minima. 
Differenzialrechnung 
2. Es sei y = fx eine Function von « 
für den Werth X von x werde y ein 
Maximum F; läfst man dann X um Af 
zunehmen und abnehmen, d. h. substi- 
tuirt man für A’ die Werthe X + A* und 
X — A®, so sind die zu diesen Werthen 
gehörigen Werthe von y beide kleiner 
als Y, so klein man A* auch nehmen 
mag, d. h. 
Y+ Ay < Y oder f(X + &x)< Y 
und Y-/\y<Y oder f(I+A*)< Y 
Nach dem Taylorschen Satz hat man 
Y + Ay- / , (A + A*)- y + + + 
dy 
8«' 
' A x 2 
8a; 2 1 
und wenn man — A* für A* setzt 
Y-Ay 
nx- 
ö 3 !/ 
8a: 3 
Hat nun für den bestimmten Werth 
0 y 
X das erste Differenzial von y eben- 
8a: 
falls einen bestimmten additiven oder 
subtractiven Werth, so kann man dessen 
Factor, den Zuwachs A* so klein neh 
men, dafs das zweite Glied ^ in 
8a: 1 
jeder der beiden Reihen gröfser wird als 
die Summe aller von dem 3ten Gliede 
ab nachfolgenden Glieder, oder 
wenn man diese Summen als den zu den 
vollständigen Ausdrücken für y±Ay ge 
hörenden Reste mit R und R' bezeich 
net, man kann A® so klein nehmen, dafs 
0 fl 
R und R' gegen beliebig klein 
werden. Es mögen also R und R' ad 
ditiv oder subtractiv sein so bleiben 
( 1~ Ax + R und ^Ax + R' mit dem 
8a: 8a: 
0 y 
zweiten Gliede A* übereinstimmend 
ox 
additiv oder subtractiv. 
Nun ist Y -f A y = Y + 
8 y 
8a: 
Ist daher ~ additiv, so hat man 
da: 
Y + Ay>Y 
und Y — y <Y 
Von den beiden benachbarten Werthen 
ist also der eine gröfser und der andere 
kleiner als F, folglich ist F kein Maxi 
mum von y. 
^ subtractiv, so hat man 
F + Ay < Y 
und F — A y > Y 
es ist also wiederum F kein Maximum 
von y, weil die benachbarten Werthe nicht 
beide kleiner als F sind. 
Es kann also kein Maximum F für die 
Function y entstehen, -wenn für diesen 
Werth F und den dazu gehörigen Werth 
X der Urveränderlichen das erste Diffe 
renzial von y einen bestimmten additiven 
oder subtractiven Werth annimmt. Es 
mufs also für ein Maximum F der 
Function der Werth des ersten 
Differenzials entweder = 0 oder 
und 
Y-Ay=Y- 
A x+R (3) 
A x + R' (4) 
Y + Ay -Y I Aa; * | . Ax3 | 
Y + Aj >+ 9a; 2 1.2 ^ 8a: 3 l-2-3 + 
Nun kann man wiederum Ax so klein 
nehmen, dafs die Summe aller dem zwei-