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Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
Negatives oder Subtractives fortgenom- 
inen werden, wenn sie an sich kleiner 
werden soll. 
Drückt man nun das Negative, welches 
einer Gröfse y anhaftet algebraisch aus, 
so entstehen in den obigen für Y ent 
wickelten Reihen die entgegengesetzten 
Vorzeichen, und es finden also bei dem 
negativen Maximum und dem negativen 
Minimum die entgegengesetzten Kenn 
zeichen statt. Aus diesem Grunde nennt 
man auch die negativen Maxima, Minima 
und die negativen Minima, Maxima. 
6. Für den Werth X der Unveränder 
lichen x, welcher entsteht, wenn man 
c) 1/ 
~ = so setzt, kann nach No. 2 ebenfalls 
ein Maximum oder Minimum entstehen. 
In solchem Fall mufs man direct unter 
suchen, ob ein solches und welches von 
beiden stattfindet, indem man in die Func 
tion (oo -f- /{) und (co — k) für x hinter 
einander einsetzt, entwickelt und erfährt, 
ob diese benachbarten Werthe beliebig 
klein genommen, beide gröfser oder beide 
kleiner werden als Y für x= oo. 
Für die richtige Auffassung der vorge 
tragenen Begriffe und Verfahrungsarten 
eignen sich ganz besonders die trigono 
metrischen Functionen, und es sollen 
daher an diesen die nothwendigen Er 
läuterungen angeknüpft werden. 
7. Beispiele. 
7j % 
1. sin x wird für x = — zu dem Maxi 
sin — ein Max. 
Aber auch für x 
wird cos x = 0, also kann auch sin - - 
Nun liegt 
zwischen dem 3ten und 4ten 
ein Max. oder ein Min. sein 
aber sin-r 
3/7 
Quadrant, ist negativ und — sin— ist 
eine positive Gröfse; folglich ist sin ^ 
entweder ein Minimum oder ein negati 
ves Maximum, und letzteres ganz be 
stimmt, weil dessen benachbarte Werthe 
negativ sind. 
Auch für dasjenige x, für welches 
cos x = oo wird, kann sin x ein Max. oder 
ein Min. werden, ein solches x existirt 
aber nicht. Mithin sind nur die obigen 
2 Maxima für sin x möglich und ein Mi 
nimum existirt nicht. 
2. w = cos x 
9 y 
Es ist = — sin X 
öx 
B -ij 
sHi = ~ cos x 
Öx 2 
9 y 
Für x — 0 w'ird öt = — sin x = 0, und 
öx 
da oT*, = — cos x subtractiv ist. 
ox i 
so ist 
fer- 
mum l, denn sin ± ßj ist < 1; 
ner für .-r = f tt ein negatives Maximum 
= — 1; denn sin (%ti ± «) ist negativ und 
absolut kleiner als 1. Sin(a/ = 0) = 0 ist 
kein Minimum, denn sin (0 -f x) = + sin u 
ist > 1 und sin (0 — «) = — sin d ist < 1. 
Desgleichen ist sin n — 0 aus demselben 
Grunde kein Minimum. Gesetzt man 
wüfste dies nicht, und wollte die Func 
tion y = sin x auf Maxima und Minima 
analytisch untersuchen, so hat man: 
c)y 
- a - = cos X 
öx 
y?/ 
Bx z 
B 3 y 
Bx 3 = - C0S:V 
Es kann nun sin x für dasjenige X, 
mit welchem cos x = 0 wird, ein Max. 
oder ein Min. werden. Dies ist aber 
Tl . ... B 2 \J . 71 
ic = —-7 und da zugleich = - sin —, 
also ein subtractiver Werth wird, so ist 
, — — sm x 
cos (x — 0) ein Maximum; es ist auch 
cos (0 ± a) = -+■ cos ß, so dafs beide be 
nachbarten Werthe < cos 0—1 sind. Für 
x — n wird - sin x ebenfalls =0; da aber 
cos Tt zwischem dem zweiten und dritten 
Quadrant liegt, so ist cos 77 negativ, folg 
lich = - cos x eine positive Gröfse und 
ox x 
cos tj entweder ein Minimum oder ein 
negatives Maximum, und ausschliefslich 
letzteres, weil die benachbarten Werthe 
von cos ti negativ sind Für cos x = 00 
gibt es kein x. Ein Minimum entsteht 
nicht: bei x — nämlich wird cos x — 0, 
allein cos(y + “) ist ne g aliv 1111(1 
cos(^— ßj ist positiv mithin der erste 
Werth kleiner, der zweite gröfser als 
77 
cos — = 0. 
3. 
Es ist 
y - tg x 
c) 11 
öT= s < 
CIX 
^y = o 
Bx 2 
ly x • sec 2 x