Differenzialrechnung. 3( 
= zweien Rechten sind, d. h. das in einen 
Kreis beschriebene Viereck, und das Maxi 
mum selbst, wenn man a-\-b + c + d = s 
setzt ist 
M = ^/(s — a) (s - 6) (s — c) (s - d) 
Dafs M ein Maximum und kein Mini 
mum ist geht auch aus den Formeln her 
vor. Denn Gleichung 2 zeigt, dafs cos \<> 
mit cos (fi, also auch dafs i/< mit <p zu 
nimmt und abnimmt. Setzt man also 
(f> = <f) — «, so wird auch \1) = \l> — ß, 
(p + (¡> - (« + ß) sind kleiner als 180° und 
sin [(p+ — (« + ß)1 wird positiv. Für 
(p+n wird }p zu ijj+ß undt/ +i^-t-(«+/S)>180° 
folglich sin ((p + »//+« + ß) wird negativ 
(vergl. No. 8). 
5. Es ist eine grade Linie AB und 
aufser ihr aber in derselben Ebene sind 
2 Punkte C und D gegeben. Man soll 
den Punkt E in der geraden Linie fin 
den, so dafs die von C und I) nach E 
gezogenen graden Linien zusammenge 
nommen die kleinste Länge haben. 
Fällt man die Lothe CE und ÜG auf 
AB, so mufs der Punkt E zwischen F 
und G liegen. Denn gesetzt E' wäre mit 
Differenzialrechnung. 
Fig. 560. 
E gleichweit von G entfernt, 
so wäre DE'—DE, 
aber CE’ > CE 
also kann nur DE + CE ein Minimum 
werden. 
Da E' unendlich weit von G genom 
men werden kann, so läfst die Aufgabe 
kein Maximum zu. 
Bezeichnet man EG mit c, FE mit x, 
CF mit a, DG mit b, so hat man 
M = CE -f DE =| «- + x 2 -f | b 2 + (c — x) 2 
, ^ thV _ 2x ^ — 2 (c — x) x\/b 2 -\-(c — x) 2 — (c — x) )/a 2 -f x 2 _ ^ 
2|/aß -f x‘ l 2\H> 2 -j- (c — x) 2 \ia l + x 2 X } //• -j- (c — x) 2 
oder x] IE + (c - x) 2 =(c- x) J/aß + x 2 
'2d 1 cx 
woraus x 2 
n 2 — b 2 ' a 2 — b 2 
und 
Also 
x = =fc 
b 
ac . nc 
x— ■ oder 
a-\- b b — a 
Für die erste Formel verlängere FC 
bis //, so da'fs FH = a + b, ziehe HG und 
aus C die mit HG parallele CE so ist 
E der gesuchte Punkt. Denn es ist 
EH : EC = EG : FE 
oder a -f b : a — c : x 
also x = ~~r~r 
ß+ o 
Die zweite Formel gilt für den Fall, 
dafs beide Punkte C und D auf entge- 
Fig. 561. 
gengesetzten Seiten von AB liegen. Es 
versteht sich, dais die grade Linie zwi 
schen C und D die kleinste Summe bei 
der Linien gibt, und dafs also deren 
Durchschnittspunkt mit AB der verlangte 
Punkt ist, und dies drückt auch die For 
mel aus. Denn es ist Fig. 561: 
CF:DG = EF.EG 
oder a : b — x : c — x 
b— a 
Aus der Function ersieht man, dafs 
das 2te Differenzial positiv werden mufs, 
denn das D. des ersten Gliedes | a 2 4 x 2 
bleibt in allen Ordnungen positiv, die Dif 
ferenziale des zweiten Gliedes ]/b 2 + (c~x)' 1 
werden wegen des (- x) und der daraus 
erfolgenden (— dx) abwechselnd negativ 
und positiv und somit wird das I). von 
— C — X - positiv. Der Werth 
2\/b 2 + {c-x) 2 
x — ± —— ist also ein Minimum. 
a * b 
6. In einen geraden Kegel einen Cy 
linder zu zeichnen, der den gröbsten Cu- 
bikinhalt hat. 
Wenn man die Höhe des Cylinders 
sehr klein nimmt, so nähert sich die