Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
Grundfläche desselben der des Kegels 
und kann mit Verminderung der Höhe 
derselben immer näher gebracht werden, 
aber der Inhalt des Cylinders wird immer 
kleiner und sein Grenzwerth ist = 0. 
Fig. 562. 
Eben so wird der Inhalt des Cylinders 
immerfort kleiner und verschwindet end 
lich in eine gerade Linie wenn man die 
obere Endfläche der Spitze des Kegels 
immer näher bringt, deshalb eignet sich 
die Aufgabe nicht zur Auffindung eines 
Minimums. 
Setzt man den Halbmesser des Kegels 
= r, desen Höhe = A, den Halbmesser des 
Cylinders = y, dessen Höhe — x, so ist 
das gesuchte Maximum 
M — 7iy' 2 X 
Nun ist h:r = h 
hieraus 
also 
x-.y 
y = -^(h~x) 
M — 71 ^-5 (Ä — x) 2 X 
A 2 
oder die constanten Factoren fortgelassen 
M — (h — x) 2 x — №x — 2hx 2 -\- x 3 
Oil/ 
also gr— = A 2 — 4hx -f- 3;r 2 = 0 
o x 
oder h (h — x) — ?jx (A — x) — 0 
oder (A — x) (h — 3a?) = 0 
Nun ist für h — x — 0; x = h, der Cy 
linder wird = 0 und folglich mufs A — 3a; = 0 
sein. 
Man hat demnach für das Maximum 
des Kubikinhalts 
x = ih 
und der Inhalt des Cylinders selbst 
— ~n Ar 2 
27 
der Kegel hat den Inhalt 
\ n hr 2 = ttkr 2 
2 27 
folglich verhalten sich beide Körper, der 
Cylinder und der Kegel wie 4: 9 
7. In einem graden Kegel einen Cy 
linder zu zeichnen, der den gröfsten Man 
tel hat. 
Mit der beliebigen Abnahme der Höhe 
des Cylinders nähert sich der Mantel 
immer mehr dem Grenzwerthe =0, das 
selbe geschieht mit der Zunahme der 
Höhe des Cylinders bis zu deren Grenze 
A, wo der Mantel ebenfalls = 0 wird. Es 
mufs also einen Cylinder geben, dessen 
Mantel den gröfsten Werth erhält. Bei 
der vorigen Bezeichnung hat man das 
Maximum 
M = 27jy • x = 2n • — (h — x)x 
und die constanten Factoren fortgelassen 
M —(Ji—x)x — hx — x 2 
, BM , a 
also = h — 2x = 0 
oi 
woraus x — 'yh 
der Mantel ist also 
V 
2n • — • tjA • \h — Anrh 
8. In einen graden Kegel einen Cylin 
der zu zeichnen, der den gröfsten Ge- 
sammtumfang hat. 
Mit der Zunahme der Höhe des Cylin 
ders bis zur Höhe h des Kegels nimmt 
die Gesammt-Oberfläche des Cylinders 
immerfort ab, und wird mit der Höhe 
h = 0. Mit der Abnahme der Höhe nähert 
sich die Gesammtoberfläche immerfort 
der doppelten Kegelgrundfläche. Ist nun 
diese doppelte Grundfläche ein absolutes 
Maximum für die Gesammtoberflächen 
aller in den Kegel eingezeichneten Cy 
linder, so gibt es für dieselben kein Ma 
ximum. Mit Beibehaltung der vorigen 
Bezeichnung ist das verlangte Maximum 
M = 2ny • x -f- 2/7»/ 2 = 2/7 -jr (A — x) x -f 2n -j-? (A — x)* = 2n —| 
2 7ip- [(r — h)x 2 — h (2r — h)x + r/t 2 ] 
x)x — (h - .t) 2 J 
(1) 
folglich 
woraus 
BM 
■ = 2n rj [2 (r - h) x - h (2r - A)] = 0 
a x h,‘ 
h (2 r — h) 
2 (r — A) 
Nun ist 
B 2 M r . r 
öi 2 ~ 2tt ¥ x 2 (r ~ h) = (r ~ h) 
Ist r > A so wird dies zweite D. posi- 
20*