Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
* 3 =r 3 [*+m] 
also 2x 2 > r 2 werden würde, und man 
hat den Werth für das Maximum 
10. Den Werth von x zu finden für 
welches x x ein Minimum wird. 
Es ist nach Formel 146 
—— = x r [1 + logn x] = 0 
9x 
Und es kann nur für den Factor 
1 -)- logn x = 0 
x* zum Minimum werden, wenn x nicht 
= 0 sein soll. 
Es ist mithin ln x = — 1 
und x — e— 1 = — 
e 
Wenn man in dem ersten Differenzial 
x vermehrt, so wird x v gröfser und Inx 
wird gröfser, also >0; wenn man aber 
darin x vermindert, so wird x K kleiner 
und Inx wird kleiner, also <0 und folg 
lich gibt x = -7- ein Minimum von 
•<tY 
\e 
2,71828.. 
1,41466 
Man überzeugt sich von der Richtig 
keit des Resultats, nämlich dafs — ein 
e 
Ve 
Minimum aller x" ist (ein achter Bruch 
kann x nur sein) wenn man nach ein 
ander wie z. B. folgende Logarithmen 
aufsucht: 
2,7 1 _S_.. • 
log V2,718 .... = 0,159768 
log ]/'l = 0,0000000 
log 1/2 =0,1505150 
logl'3 =0,1597071 
logt 4: =0,1505150 
log V1Q =0,1000000 
log V°l"oO =0,0200000 
Für einen Bruch, dessen Zähler = 1 
ist, gibt also unter allen Wurzeln von 
x e 
der Form yx die Zahl Ve den gröfsten 
Nenner, den Bruch selbst also als die 
kleinste Zahl. 
10. Eine implicite Function ist 
gegeben, die Maxima und Minima 
derselben zu bestimmen. 
Ist w = f(y, x) = 0 _ (1) 
eine Gleichung zwischen den Veränder 
lichen x und y (s. Differenzialgleichung I, 
Formel 3), so hat man (nach demselben 
Art. No. 3) 
Om. Oj/ Om 
01/ 9x 0X 
0 f(y, *) _ 9j/ djjy, x) 
&y 9x Öx 
Soll nun y ein Maximum oder ein Mi 
nimum werden, so mufs x einen solchen 
0 V 
Werth A erhalten, für welchen -g^ = 0 
wird. Mithin reducirt sich Gleichung 2 
auf die Gleichung 
9m 
Ox 
= 0 
oder 
= 0 
(2) 
(3) 
Es können also nur diejenigen Werthe 
von x Maxima oder Minima der Function 
erzeugen, für welche und einzeln 
= 0 sind. Oder was dasselbe sagt, für 
welche das D. der Gleichung, x als al 
leinige Variable angesehen, =0 wird. 
Die beiden Bedingungsgleichungen für 
ein M sind daher 
u = 0 
9 “ = 0 
8x 
und aus diesen können die beiden zu 
sammengehörigen Werthe von x und y 
entwickelt werden. 
Z. B. u — y 3 — axy + x 3 = 0 (4) 
so ist noch 
^ = - ay + 3x 2 = 0 (5) 
Diese zweite Gleichung ergibt 
3^ 2 
y = - (6) 
und dieser Werth in die Gleichung für u 
substituirt 
/3x 2 \ 3 3x 2 
I — ) — (ix (- x 3 = 0 
V a } a 
ergibt x 3 x 3 — 2^ = 0 
oder * S (”*-^) = 0 
Es ist mithin 
3 
entweder x = 0 oder x = j« y'2 
für diese Werthe von x erhält man aus 
Gleichung 6 
entweder y — 0 oder y = \a\ 4 
11. Um nun zu erfahren, ob für die