also y entweder = 0 oder = J« j4 
0 
Man erhält ¿r-z = 6x 
dx* 
^ = 3»* 
Ist nun dieses zweite D. subtractiv, so 
entstellt ein Maximum; ist es additiv, ein 
Minimum. Ist das zweite D. =0, so mufs 
das 3te und 4te D. gebildet und verfah 
ren werden wie oben vorgeschrieben wor 
den. 
12. Die Regel fiir die Auffindung der 
Maxima und Minima einer implicite ge 
gebenen Function ist daher folgende: 
Man nehme das Differenzial der Glei 
chungsformel in Beziehung auf die Ur- 
veränderliche (a.-), als wenn diese allein 
variabel und die Function («/) also con- 
stant wäre; setze dies D = 0 und ent 
wickele x und y aus beiden Gleichungen, 
so dafs beide durch constant gegebene 
Gröfsen ausgedrückt werden. Alsdann 
nehme man das zweite D. der Gleichungs 
formel, wiederum x allein veränder 
lich angesehen, dividire dies zweite D. 
durch das erste D. der Gleichungsforme], 
bei welchem y als die alleinige Verän 
derliche betrachtet wird, gebe diesem 
Quotient das entgegengesetzte Vorzeichen 
und setze in den so erhaltenen Ausdruck 
die zuerst gefundenen Werthe von x und 
y. Ein Minimum für y findet statt, wenn 
der zuletzt gefundene Ausdruck additiv 
wird, ein Maximum wenn er subtractiv 
wird. 
1. Beispiel. Die obige Gleichung 
u = y 3 — axy -f- x 3 = 0 
Es ist ermittelt für u = 0 
du 
= — ay + 3a; 2 = 0 
also für die beiden ersten zusammenge 
hörigen Werthe a; = 0 und y = 0 
..... 9% 9m 6 a: 0 
erhalt man g-s : ¿r- = —„ = — 
9a: 2 öy 2>iß — ax 0 
Es ist also der Priifungscoefficient nicht 
= 0 sondern eine bestimmte Gröfse, die 
hier in der Form — erscheint und man 
findet den Werth nach Capitel II, pag. 294, 
wenn das Differenzial des Zählers durch 
das Differenzial des Nenners dividirt, und 
zwar den Werth des Quotient ausschliefs- 
lich für die Werthe a? = 0 und y — 0. 
Setzt man um nur eine Veränderliche 
zu erhalten für y den durch x bestimm- 
3a: 2 
ten Werth = , so erhält man den 
a 
Quotient 
2 a* 
9a: 3 — a° 
und x = 0 gesetzt 
9 2 m 9m _ 2 
9a: 2 '9y a 
folglich den entgegengesetzten Quotient 
also eine additive Gröfse, und folg 
lich ist für a; = 0, die Function y = 0 ein 
Minimum. 
. 6a: 
Setzt man in den Quotient —,—— 
6y c — ax 
die beiden anderen zusammengehörigen 
3 3 
Werthe x — \a\'2 und y — ^ay4 so er 
hält man ihn 
-3-a 2 |/16 — | a 2 y 2 
der entgegengesetzte Quotient =- •—, eine 
subtractive Gröfse und y — lay4 ist folg 
lich ein Maximum.