0 oder = oo 
K- keine reellen Werthe haben, sie müs- 
sen wie bei den Functionen mit nur 
einer Unveränderlichen entweder 0 oder 
oo sein. Die ersten Bedingungen für das 
Vorhandensein eines Maximums oder eines 
Minimums ist daher 
c)y 
c\~ —— 0 oder = co 
cte 
Für die Beurtheilung, ob ein Maxi 
mum oder ein Minimum oder keines von 
beiden entsteht, ist wie bisher geschehen 
auf das D. der nächstfolgenden Dimen 
sion zu achten. 
Dies ist aus der obigen Zusammen 
stellung der Reihen für y-\- A?/ 
0 2 y A* 2 . cP|/ A® A^ 0^/ A s 2 
0a: 2 2 0a: • 0s 1 1 0 s 2 
und es kann der noch fehlende Rest R’ 
zur Vervollständigung von y + /\y kleiner 
werden als jedes einzelne der 3 zweiten 
Differenziale. 
Wird daher die Summe der 3 Glieder, 
wenn man /\x und As beliebig klein 
nimmt für + A» nnd + As gröfser 
oder kleiner und wenn man — A« und 
— As setzt, kleiner oder gröfser, so 
ist die Function weder ein Maximum 
noch ein Minimum, weil die benachbar 
ten Werthe von y einerseits gröfser und 
andrerseits kleiner sind. Werden dage 
gen die 3 Glieder in Summa für addi 
tive und für subtractive ¿Sx und A y 
beiderseits gröfser oder beiderseits kleiner, 
so entsteht im ersten Fall für y ein Mi 
nimum, im zweiten Fall ein Maximum. 
Um das Verhältnifs der hierzu gehöri 
gen Gröfsen für diese Bedingung ermit 
teln zu können, setze der leichteren Ueber- 
sicht wegen 
B 2 */ W'J 
zeichen wechselt; das erste und das letzte 
Glied bleiben, weil sie Quadrate sind 
immer positiv. Es kommt also darauf 
an, dafs das mittlere Glied auf das Vor 
zeichen der ganzen dreigliedrigen Gröfse 
keine Aenderung ausüben kann, und dies 
geschieht dann nicht wenn 
« A x 2 -f y A s 2 > 2/? A x • A s 
oder wenn 
« • A x 2 -f y A s 2 — 2/3 A x • A s > 0 
oder wenn 
y 
&x~ + 
Nun ist 
Ai 2 - — Aa: 
Al >0 
0 2 y , 0 2 (/ 
2 < 0 nnd ■— <0 
ox 2 0 ¿ 2 
die Bedingung für das Minimum: 
0 2 y . 0 2 « 
8S >0 und 8? >0 
Aa? • As das doppelte 
Product des Quadrats von A#—- A*. 
« 
Man hat demnach die Bedingung 
(A x — — A s) + — A s 2 - A s 2 > 0 
oder 
(a* — + (-£ - J) As 2 > 0 
Nun ist, welche Gröfsen auch A®, As, 
ß und « sein mögen ^A»— ^-As) nnd 
As 2 immer positiv. Folglich bleibt die 
y ß^ 
Bedingung —— — 2 > 0 
oder 
oder x §72 ~ >0 
als die Bedingung für die Mög 
lichkeit eines Maximums oder 
eines Minimums. 
Die Bedingung für das Maximum 
ist nun: 
(II) 
(III) 
Beispiel. Die Function 
u = X y 2 + a (x -f- i/) 2 - 6 (x + y) (1) 
soll auf Maximum und Minimum unter 
sucht werden. 
Man hat 
= y z + 2a (x + y)-b = 0 
(2) 
k- = 2*y + 2a (x + y) - b ~ 0 (3) 
oy 
die untere von der oberen abgezogen gibt 
?/ 2 — 2 xy = 0 
hieraus hat man für ein mögliches 31 
entweder y = 0 
oder y — 2x