Dodekaeder. 
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Dodekaedralzahl. 
J 2 - \nk- • cot |/5 (5 + 2 | 2) 
n 
n 1ftO° ISO 0 
J 2 = nß 2 • cot 2 — • eof • eof 2 = |ß 2 1/10 (5 - (/5) 
2 n m b r 
J~ — nr* • co/ 2 ! • f<7 ^ } -2 |/2 (65 _ 29 V'5) 
Bezeichnet .V 3 den Inhalt des Polyeders, so ist 
J 3 = ,n Y/; 3 • If] ’ cot 2 — \ k 3 (15 + 7 |/5) 
./ :! = \nNH? • cot 2 — • cot 2 ——- • cot 3 —— — 2 ß3 j 30 (3 -)- | 5) 
J 2 n m 
J 3 — \nNr 3 • cot 2 • t</ = 101 -3 J/2 (65 — 29 |/5) 
= 1,720 4773 X k 2 
= 0,876 218 X ß 2 
= 1,245 1340 x r* 
= 7,663 1189xÄ 3 
= 2,785 164 X ß 3 
= 4,980 5360 xr 3 
Dodekaeder (Krystallographie), Zwölf 
flächner, ist ein Körper mit 12 Flä 
chen, die aber nicht wie das D. in der 
Stereometrie ans regulären Fünfecken 
bestehen, sondern aus 12 Rhomben. Da 
her heifst es auch Rhombendodekae 
der, auch Granatoeder. 
Die einschliefsenden Rhomben haben 
24 gleiche Kanten und 14 Ecken, deren 
Umfangswinkel sind 109° 28’ und 70° 32’. 
Das D. stellt sich auf wie der Würfel: 
Ist EEGH die Grundfläche, so ist die 
derselben 4= gegenüber liegende Fläche 
die Raute ABCD; rechtwinklig mit bei 
den Flächen stehen die beiden 4= mit 
einander befindlichen Flächen ALEM und 
l)KGJ, so dafs auch diese beiden als 
Fig. 564. 
Grundflächen angenommen werden kön 
nen, wo dann jene dieselbe Lage zu die 
sen, wie diese zu jenen beiden Flächen 
haben. 
Es ist also deren Lage mit der der 
Würfelflächen ganz dieselbe, nur ist der 
Unterschied, dafs beim Würfel die Flä 
chen mit den Kanten sich ansetzen, wo 
gegen beim D. die Ecken der Flächen 
gemeinschaftlich sind, nämlich die 4 Ecken 
I), G, A und E. 
Zwischen diesen 4 Rauten gruppiren 
sich die 8 übrigen Rauten der Art sym 
metrisch, dafs deren Kanten unter ein 
ander gemeinschaftlich sind und dafs je 
4 der Flächen in einer gemeinschaftli 
chen Ecke zusammen treffen, also beide 
Paare in den beiden Ecken 0 und N. 
Die genannten 6 Ecken sind vierflächig 
und werden durch die längeren Diago 
nalen der Rhomben mit einander ver 
bunden; die übrigen 8 Ecken sind drei 
flächig. 
Wenn man den Krystall mit der Ecke 
G sich aufgestellt denkt, so dafs GA die 
lothrechte Hauptaxe ist, so bildet die 
Ebene, in welcher die 4 Diagonalen DO, 
OE, EN, N1) die Basis des Krystalls, 
die 4 Diagonalen liegen wie 4 Seiten des 
Octaeders und die 4 Ecken D, U, E, N 
nebst den beiden G und A liegen wie 
die 6 Ecken des Octaeders; daher heifsen 
auch die 6 vierflächigen Ecken des D. 
dessen Octaederecken. 
Bleibt man bei derselben Aufstellung 
des Krystalls, verbindet die 4 dreiflächige 
Ecken B, C, L, M und die anderen 4 
derselben J, K, H, F durch die kürze 
ren Diagonalen, so liegen jede 4 dieser 
Diagonalen in zwei Ebenen die einander 
4= und mit der Axe AG rechtwinklig 
sind; und da nun diese 8 Diagonalen 
zwei Quadrate bilden, so liegen die 8 
Ecken wie die 8 Ecken in dem Hexaeder; 
deshalb nennt man die 8 dreiflächigen 
Ecken des D. dessen Hexaederecken. 
Dodekaedralzahl ist diejenige der 5 
Polyedralzahlen, deren zu Grunde lie 
gendes Polyeder das Dodekaeder ist. Die 
Zahlen sind nämlich die Anzahl der Punkte, 
welche die Ecken und in gleichbleiben 
den Entfernungen von einander die Kan 
ten aufnehmen, wenn man die Kanten