Congruenz der Dreiecke. 
Congruenz der Dreiecke. 43 
Fig. 311. 
chen jedesmal congruente Dreiecke her 
vorgehen, sind demnach: 
1. drei Seiten, 
2. zwei Seiten und der von diesen ein 
geschlossene Winkel, 
3. zw'ei Seiten und der der gröfseren 
von beiden gegeniiberliegendeWinkel 
4. eine Seite und zwei gleichliegende 
Winkel. 
Und man hat also auch 4 Lehrsätze über 
die C. der Dreiecke. 
Die Elementargeometrie gestattet nicht 
in der systematisch auf einander folgen 
den Entwickelung und Erkenntnifs ihrer 
Wahrheiten die Sätze über die C. der 
Dreiecke in der obigen Ordnung und un 
mittelbar auf einander folgend. In dem 
uns bekannten ältesten Lehrbuch der 
Geometrie, im Euklid, bilden die hier 
unter No. 2 aufgeführten Bestimmungs 
stücke den ersten Lehrsatz (Satz 4) und 
zugleich den ersten Satz über die C. der 
Dreiecke; in dem Art.: „Axiom“ ist der 
selbe pag. 263 mit Fig. 153 nach Euklid 
erwiesen. 
Nachdem nun Euklid nach Satz 5 und 
6 über die Gleichheit der Winkel an der 
Grundlinie eines gleichschenkligen Drei 
ecks in Satz 7 erwiesen hat, dafs wenn 
über einer geraden Linie AB von deren 
Endpunkten A, B aus zwei gerade Linien 
AC, BC in einem Punkt C zusammen 
laufen, zwei andere gerade Linien AD, 
BI) nicht in einem anderen Punkt D zu 
sammenlaufen können, wenn AI) = AC 
und zugleich BI) = HC ist, giebt Satz 8 
als nothwendige Folge von Satz 7 den 
zweiten Lehrsatz über die C. der Dreiecke 
mit den hier No. 1 aufgeführten Bestim 
mungsstücken: 3 Seiten in beiden Drei 
ecken einzeln gleich. 
Man beweist diesen Lehrsatz auch un 
mittelbar aus Euklid, Satz 5 und 6 wie 
folgt: Wenn nämlich 
AB = DE 
AC = DF 
BC = EF 
so lege A FDE mit der Seite DE an die 
ihr gleiche Ali, so dafs AF = AC, BF 
= BC, ziehe CF, dann sind die Dreiecke 
CAF und CBF gleichschenklig, daher 
ZACF-ZAFC 
Z BCF - Z BFC 
daraus Z ACB = Z AFB 
in den Dreiecken ACB und AFB sind nun 
zwei Seiten, und die von ihnen einge 
schlossenen Winkel gleich, die Dreiecke 
also, nach Euklid Satz 4, 2ä. 
Fig. 312. 
Erst nach einer Reihe von 11 Lehr 
sätzen nebst 6 Aufgaben kommt in Satz 
26 der dritte Satz über die C. der Drei 
ecke unter den hier No. 4 aufgeführten 
Bedingungen: „Eine Seite und zwei Win 
kel gleich,“ der in 2 Theile getheilt ist, 
1) wenn die Seite beiden Winkeln und 
2) wenn die Seite nur einem Winkel 
anliegt. Die Beweise sind folgende: 
1. In beiden Dreiecken CAB, FDE 
sind gegeben 
AB = DE 
Z CAB = Z FDE 
Z CBA - Z FFD. 
Nimmt man nun an AC nicht = DF, so 
mufs AC entweder gröfser oder kleiner 
sein als DF; ist AC > DF, so ist irgend 
Fis- 313. 
eine Linie AG, die < als AC ist, = DF, 
zieht man dann GB, so ist in den beiden 
Dreiecken GAB, FDE 
AB = DE 
AG- DF 
Z CAB = Z FDE 
folgt A GAB aa A FDE nach Satz 4 
hieraus Z CBA = Z FEI) 
Vorausgesetzt ist aber 
Z CBA = Z FED