e Axe.
sind: 1. In jedem
i Seite der gröfsere
nklid, Satz 18) und
Aufsenwinkel greiser
n ihm gegenüberlie-
kel (Euklid, Satz 16)
»reiecken ACB und
= T)F
- DE > (AC = 1)F)
= Z DFE
A ACH, so dafs D
, so fallt FE in die
m CB > FE, so fällt
iva in G; ziehe AG,
A DFE nach Satz 4
DE
DE
AB
/TaBG SAz 5.
/ ABC nach Satz 18,
> z \GB
unmöglich ist.
rspruch kommt man
fs CB < FE, wo dann
ng von CB, etwa in
den) oder coordi-
ifsen in der Geome-
ien, welche zu einer
en Abhängigkeit mit
ind oder in gewisser
ler gehören und ein-
den (s. die folg. Art.)
1. Bei der Ellipse
oder Nebenaxe {DE
le c. A. (zur grofsen
AB). Diese c. A. ist
rische Proportionale
315.
Axe und dem Pa-
aber eben so gut er-
r ist diejenige Linie,
nnetrische Proportio
nale zwischen der kleinen Axe und der
grofsen Axe ist. Die erste Erklärung ist
angemessen, wenn die rechtwinklige Co-
ordinatengleichung durch die grofse Axe
(«) und den Parameter (p) gegeben ist;
die zweite, wenn sie durch die grofse
Axe (a) und die kleine Axe (c) gegeben
ist. Man hat nämlich für die Ellipse
und
y2 = r{ X ~^a)
' j2= a? ^ ~ X ^
woraus zu ersehen, dafs c 2
und
2. Bei der Hyperbel nennt man eben
so die Nebenaxe oder Zwerchaxe zugleich
c. A. in Beziehung auf die Hauptaxe (vgl.
conjugirte Hyperbel), und sie ist die mitt
lere geometrische Proportionale zwischen
Fig. 316.
der Hauptaxe und dem Parameter, wie
man auch den Parameter als die dritte
Proportionale zwischen der Hauptaxe und
der c. A. feststellen kann. Es sei BAD
das Stück einer Hyperbel, A der Scheitel,
CE durch A die Axe der Hyperbel, näm
lich die auf dem Curvenelement A im
Scheitel normal befindliche Linie.
Bezeichnet man mit A' den Scheitel
der zweiten Hyperbel, welche mit der
Hyperbel BAD in einerlei Ebene durch
den über die Spitze hinaus verlängerten
Kegel gebildet wird, so sei C die Mitte
zwischen A’ und A, also der Mittelpunkt
beider Hyperbeln; A'A — 2CA die Haupt
axe («). Es seien ferner CH und CP
die beiden Asymptoten der Hyperbel,
NP durch A auf 6’.4 normal, so ist NP
die Zwerchaxe oder die c. A. (c). Bezeich
net man nun wieder den Parameter mit
p, so hat man für rechtwinklige Coor-
dinaten (wie AK — x und BK = y)
P = —
«
Conjugirte Durchmesser. Unter Durch
messer einer Curve versteht man jede
gerade Linie, die als Abscisse genommen
zu beiden Seiten in gerader Linie gleiche
mit einander parallele Ordinaten zuläfst.
Es ist mithin jede Axe zugleich Durch
messer wie AB, Fig. 314, in der Ellipse,
und AE, Fig. 315, in der Hyperbel, wo
die gleichen Ordinaten rechtwinklig sind,
und auch bei der Parabel und dem Kreise
findet dies statt. Beim Kreise ist jeder
beliebige Durchmesser zugleich Axe, und
die gleichen Ordinaten sind rechtwinklig
auf derselben, dagegen hat die Parabel
keinen anderen Durchmesser als die Axe
aufzuweisen, w r ohl aber die Ellipse und
die Hyperbel, bei welchen jede durch
den Mittelpunkt gezogene gerade Linie
ein Durchmesser ist, w r ie FG durch C,
Fig. 314, CJ durch C Fig. 315.
Aufser den Axen bei der Ellipse und
der Hyperbel gehören zu allen übrigen
Durchmessern schiefwinklige Ordinaten.
2. Um bei der Ellipse, Fig. 314, für
einen beliebigen Durchmesser HJ den
Winkel zu finden, unter welchem die
Ordinaten zu beiden Seiten gleich grofs
sind, construire die mit HJ parallele
Tangente FT, ziehe durch den Berüh
rungspunkt F den Durchmesser FG
durch C, so ist Z FCB der gesuchte
Coordinatenwinkel; alle mit FG parallele
Chorden oder Doppelordinaten wde KM
werden von dem Durchmesser IIJ halbirt.
Desgleichen halbirt der Durchmesser FG
alle Chorden, die mit dem Durchmesser
HJ sind, wie z. B. OK=OL, und HJ,
FG sind conjugirte Durchmesser.
3. Die Construction einer Tangente =L
einem gegebenen Durchmesser geschieht
aber einfach aus folgender Betrachtung:
ln dem Art.: „Berührende gerade Linie,
Beispiel 2, Ellipse“ pag. 341 mit Fig. 210
hat man rechts, Z. 13 v. u.
(J (Z*™ ) = X = £i. izf
s « 2 y
wo a und c die halben Axen bezeichnen.
Fällt man Fig. 314 das Loth FN auf
AB, so ist hier zu setzen Z ETC = « für
Z BTD, und es ist ferner
FN = y; TN = s
