Constructionen, trigonom. 90 Constructionen, trigonom. 
Es ist wieder der Bogen zu dem Cen- 
triwinkel (a F ß) der verlangte. Denn 
bei derselben Construction wie in Fig. 454, 
wobei die Lothe DE, EG und EF auf 
dio Verlängerungen von BC, AC und Dil 
fallen, hat man: 
Erstens Z EDF= Z DEG = Z ECG = cc 
FH = EG — CE • sin ECG — CE.sin cc 
CE = cos DCE = cos (180° — ß) 
= — cos ß 
folglich FII = — sin cc • cos ß 
Noch ist DF = DF.cos EDF — DE.cos a 
DE = sin DCE = sin (180° — ß) = sin ß 
folglich DF — sin ß • cos « 
Nun ist sin (cc F ß) = DH = - FH + DF 
folglich 
1. sin (« -)- ß) = sin cc •cos ß -f cos « • sin ß 
Zweitens ist 
CG = CE • cos ECG — — cos ß • cos cc 
und GH = EF= DE.sin EDF = sin ß*sin cc 
und CH = — cos (a + ß) = CG + GH 
oder — cos (cc -f ß) 
= — cos cc • cos ß sin cc • sin ß 
oder II. cos (« + ß) 
= cos cc.cos ß — sin ccsin ß 
III. Wenn der eine Schenkel von ß im 
ersten, der andere im dritten Quadrant 
liegt. 
Der Bogen zu dem Centriwinkel =(cc + ß) 
ist der verlangte. Denn bei derselben 
Construction wie in Fig. 455 hat man 
Erstens : DII = sin DCH 
= sin (cc + ß — 180°) = — sin (cc + ß) 
oder sin (cc + /?) = - DH = - (DF+ FH) 
Nun ist FH = EG = CE • sin ECG 
= cos DCE. sin ECG 
oder FH = cos (ß — 180°) sin cc 
= — cos ß.sin cc 
ferner ist DF — DE. cos EDF 
= sin(ß—lS0°)‘Cos EDF = — sin ß.cos EDF 
aber Z EDF = Z ECG = « 
also DF — — sin ß-cos cc 
folglich 
FH F DF - — cos ß. sin cc — sin ß • cos cc 
Fig. 456. 
oder I. sin (cc + ß) = - (FH + DF) 
= sin (t'COS ß F cos cc. sin ß 
Zweitens ist CH = cos DCH 
= cos (cc F ß — 180°) = — cos (a -f ß) 
oder cos (cc F ß) — — CH — — (CG — GH) 
aber CG = CE.cos ECG 
= cos (ß — 180°)• cos cc = — cos ß.cos cc 
ferner ist GH = EF= DE sin EDF 
— sin (ß — 180°).sin cc = — sin ß-srn cc 
folglich 
CG — GH = — cos ß • cos cc + sin ß • sin cc 
und II. cos (cc + ß) = — (CG — GH 
— cos u • cos ß — sin cc • sin ß 
IV. Wenn ein Schenkel von ß im er 
sten, der andere im vierten Quadrant liegt, 
arc(ccFß) ist der verlangte Bogen. 
Denn construirt man wie in Fig. 456, 
so hat man 
Fig. 457. 
Erstens DH = sin DCII 
= sin [360° — (cc + /?)]=— sin (cc + ß) 
Nun ist DH = DFF FH 
ferner ist FH = EG— CE.sin ECG 
— cos (ß— 180°) • sin cc — — cos ß-sin cc 
und DF=DE-cos EDF 
= sin(ß— 180°)*cos EDG = —sinß'Cos EDF 
= — sin ß • cos ECG ~ — sin ß • cos cc 
folglich I. — DH = sin (cc F ßj 
— sin cc • cos ß + cos cc • sin ß 
Zweitens ist CH = — CG F HG 
aber CG — CE • cos ECG 
— cos (ß — 180°) • cos ß • cos cc 
und HG = EF = DE-sin EDF 
= sin (ß— 180°) • sin cc = — sin ß • sin cc 
folglich 
II. CH= COS (aFß) ~ cos cc-cos ß —sin ccsin ß 
V. Wenn beide Schenkel von ß im 
zweiten Quadrant liegen. Construirt man 
wie in Fig. 454, so ist wieder circ (a + ß) 
der verlangte Bogen; denn man hat