ihre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
sich nicht allein in 
der andern Seite 
Zwei grade Linien 
• in einem Punkte 
ist überhaupt kein 
ich. Es sind also 
D parallel. 
; dieser Beweis im 
jetzt vorgekomme- 
Denkt man sich 
1B und CD, welche 
EF (Fig. 84) ge- 
H mit G" und HD 
ifällt, es wird dann 
n können, dass GB 
fallt, und fährt man 
e Linien ins Unend- 
iem W inkel EGB un- 
y>B",B'"G"G"’B” 
jeder gleich B'G’HD 
;r Kaum gegen den 
ilich klein. — Sei 
,el EGB grösser als 
an das Flächenstück 
B, dass Punkt H in 
lie Linie G und GH 
dien, es muss dann 
/Vinkelraumes FGB, 
y fallen, da Winkel 
B ist, während G’B’ 
fällt, und Winkel 
Legt man in Winkel- 
;r DHG'B’, so dass 
?"D", G’B’ in die 
und fährt so fort, so 
n EGB in unendlich 
Fig. 84. 
viel Räume BGG"B", B"G"G"'B"' u.s.w. und EHC zu betrachten brauchte. Legt 
getheilt, die alle gleich sind, und deren je- man nun EHD auf EGA, so dass die 
der grösser als B” G" GD'— B’G'HD ist, Scheitelpunkte G und H, so wie die 
Dieser Raum B'G'HD ist also gegen Schenkel EG und GH zusammenfallen, 
den von Winkel EGB gebildeten ver- so wird HD innerhalb des Winkelraumes 
schwindend klein. EGB in die Lage GD' fallen, also um 
Sei endlich Winkel EGB', kleiner als das Stück D'GB kleiner sein als EGA. 
EHD, so wird EGB von EGA, und EHD Dies Stück ist gegen EGB nicht ver- 
von EHC zu einem gestreckten ergänzt; schwindend klein, da EGB und D'GB 
es ist also Winkel EGA grösser als gewisse Theile eines gestreckten Winkels 
EHC, und somit nach dem Vorigen der sind. Andererseits zerfällt aber EHD 
Flächenraum AGHC gegen EGA ver- in die Räume EGB und BGHD, von 
schwindend klein. denen der letztere gegen den ersteren 
nach vorigem Satze verschwindend klein 
Lehrsatz, Zusätze und Scholion. ist. Der Unterschied beider Winkel kann 
VIII. Lehrsatz 5. Werden zwei also keine endliche Grösse betragen und 
parallele Linien von einer dritten Linie ge- somit muss HD mit GB zusammenlallen, 
schnitten, so sind alle zusammengehörigen Zusatz 1. Da somit auch Winkel 
Gegenwinkel und Wechselwinkel gleich. AGE— CHE, so werden beide Räume 
Beweis. Es ist nur zu beweisen, AGHC und BGHD gegen die darüber- 
dass ein Paar von Gegenwinkeln gleich liegenden und somit gegen jeden Winkel 
ist, da sich das Uebrige aus V. ergibt, verschwindend klein sein. D. h.: 
—■ Seien die Gegenwinkel EGB und EHD »Der zwischen zwei parallelen Linien 
und einer sie schneidenden dritten Linie 
liegende Raum ist verschwindend klein 
gegen den Winkel.“ 
Zusatz 2. Winkel EGB und BCH 
sind Nebenwinkel also zusammen gleich 
einem gestreckten oder zwei Rechten. 
EGB = EHD, also auch EHD + BGH 
gleich zwei rechten Winkeln. D. h.: 
„Wenn zwei parallele Linien von einer 
dritten geschnitten werden, so sind die 
beiden inneren Winkel auf einer Seite 
der schneidenden Linie zusammen gleich 
zwei Rechten.“ 
Findet Letzteres nicht statt, so kön 
nen also auch die Linien nicht parallel 
sein. Sie müssen sich also auf einer 
Seite der Linie EF schneiden, 
nicht gleich, so kann jedenfalls EGB Sind nun HD und GD' (Fig. 85) zwei 
grösser als EHD angenommen werden, von EF geschnittene Linien, und ist 
da man im Falle EGB kleiner als EHD D t GH-\-GHD grösser als zwei Rechte, 
wäre, man nur die Nebenwinkel EGA so wird sein EGD’ + D'GH ~ 2 Rechten 
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Fig. 85.