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Raumlehre. 
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Raumlehre. 
als Nebenwinkel, also EGD' kleiner als 
GHD, und wenn GB parallel mit HD 
ist, EGD' kleiner als EGB\ es wird 
also GD' sich von HD noch mehr als 
die parallele Linie GB entfernen, und 
kann auf dieser Seite von EF nicht HD 
schneiden. Daraus folgt: 
Zusatz 3. Zwei Linien, die von 
einer dritten geschnitten werden, so dass 
die inneren Winkel auf der einen Seite 
der schneidenden Linie nicht zwei rechte 
Winkel zusammen betragen, werden sich 
immer auf der Seite schneiden, auf wel 
cher diese Winkelsumme kleiner als zwei 
Rechte ist. 
Scholion. Die Sätze V. bis VIII., 
enthalten die Theorie der Parallel-Linien. 
Den Zusatz 3. dieses Paragraphen gibt 
Euklid als ein Axiom, d. h. als eine 
Wahrheit, die des Beweises nicht bedarf, 
Indess ist es wohl nur ein Satz, für den 
eben kein Beweis von ihm gefunden 
worden ist. Seitdem ist unzählich oft 
versucht worden, einen Beweis dafür zu 
geben. Es lässt sich dann nämlich, wenn 
man von Zusatz 3. ausgeht, die Reihe 
derjenigen Sätze, welche die Theorie der 
Parallelen bildet, durch einfache Betrach 
tungen beweisen. Die hier gegebenen 
Entwicklungen stützen sich auf die De 
finition des Winkels, welche in dem Ar 
tikel : Raumgrösse gegeben ist, und den 
selben als einen Theil der Ebene erklärt, 
was wie dort gezeigt wurde, auch aus 
andern Gründen uns nothwendig scheint. 
Diese Betrachtungen sind, wenn wir nicht 
irren, zuerst in ihren Grundzügen von 
Grelle angestellt. Die Geometrie dieses 
Verfassers enthält im Wesentlichen den 
hier gegebenen Beweis des Lehrsatzes, 
der uns jedoch zur vollständigen Schärfe 
einer Ergänzung zu bedürfen schien, 
welche hier durch Lehrsatz 4. gegeben ist. 
von Punkten jede zwei durch eine von 
diesen beiden Punkten begrenzte Grade 
verbunden werden, so heisst das ent- 
entstehende Gebilde ein vollständiges 
Vieleck, also vollständiges 3-eck, 4-eck 
...n-eck. Auch hier nennt man die Ver 
bindungslinien Seiten, die gegebenen 
Punkte Ecken.“ 
Der Hauptunterschied zwischen einem 
vollständigen Vielseit und einem Vieleck 
ist, dass bei dem ersteren die graden 
Linien als unbegrenzt bei dem andern 
als begrenzt gedacht werden. Ein voll 
ständiges Vieleck braucht selbstredend 
nicht in der Ebene zu liegen. 
C) Ein endlicher Theil der Ebene, 
welcher überall begrenzt ist, heisst F i g u r. 
Die Begrenzung einer Figur kann aus 
krummen oder graden oder aus krummen 
und graden Linien bestehen. Eine nur 
von graden Linien begrenzte Figur heisst 
gradlinig. Eine solche heisst auch Vieleck 
(Polygon), Dreieck, Viereck .. . n-eck, 
wenn sie von 3,4. ... n Linien begrenzt 
ist. — Wenngleich die Bezeichnung n-eck 
sonach einen Doppelsinn hat, so ist ein 
Irrthum nicht gut möglich, da dem in 
Definition B) betrachteten Gebilde die 
Bezeichnung vollständig hinzugefügt ist. 
Die Linien, welche eine Figur be 
grenzen, heissen Seiten; sie sind immer 
als endlich anzunehmen. Die Punkte, 
in welchen zwei Seiten Zusammentreffen, 
heissen Ecken. 
Ein Vieleck kann man entstanden 
denken, wenn man (Fig. 86 und 87) von 
Fig. 86. 
2) Von den Figuren insbeson 
dere den Dreiecken. 
I. Definitionen. A) DieVerbindung 
von einer Anzahl grader Linien in der 
Ebene, von denen jede folgende die als 
vorhergehend gedachte schneidet, wird 
Vielseit und je nachdem die Anzahl der 
Graden 3, 4, 5 ... n ist, Dreiseit, Vier- 
seit,Fünfseit,... n-seit genannt. Schneidet 
jede der Graden alle Uebrigen, so heisst 
die Verbindung: „vollständiges 
n-seit.“ Die Linien, welche das n-seit 
bilden, heissen Seiten, ihre Schnitt 
punkte Ecken. Verbindet man zwei 
Ecken durch eine Linie, welche nicht 
Seite ist, so heisst dieselbe Diagonale 
des n-seits. 
B) Wenn von einer beliebigen Anzahl 
einer Anzahl in der Ebene heimlicher 
Punkte A, B, C, D, E den ersten A mit dem 
zweiten B, den zweiten mit dem dritten 
C u. s. w., den letzten E wieder mit dem 
ersten A verbindet. AB, BC u. s. w. sind 
dann die Seiten der Figur. Die Seiten 
sind also hier immer begrenzt, und zwar 
sind ihre Grenzen die Ecken. Es wird 
ferner immer jeder der Eckpunkte mit 
R 
zwei und nur 
Grade verbünde 
welche zwei Ec 
Seite zu sein, 
Diagonale d< 
Ein Vieleck 
als Ecken, da 
der zweiten, di 
endlich die leb 
eine Seite verb 
Welchen Pur 
eines Vielecks 
als den dara 
annimmt, ist i 
Jedoch versteh' 
Vieleck nur so] 
ten (natürlich s 
gert werden) ] 
gegebenen Eck; 
also einander n 
Diese Beding 
(Fig. 87) z. B. 
die Linie AB in 
Im Allgemei: 
taren Geometrie 
dergleichen Viel 
An jeder Ecl 
sich ein Winke 
Winkel, (Polygo 
Da zwei Linh 
einen Winkel, 
völlig begrenzte 
schneiden, so r 
stens drei Seite 
Dreieck genann 
eck lässt sieh i 
füllen seine Se 
Bedingung, so ] 
Diagonalen gese 
Endpunkte gez. 
durch die Diag 
Seien (Fig. 88 
winkeln solche, 
streckter sind, 
kann, wenn m