Raumlehre. 
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Raumlehre. 
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Beispiele. Sie wird also beim Dreieck, 
Viereck, Fünfeck, Sechseck bezüglich 
betragen : 
Beispiele. Es hat also das Dreieck 
4-1 
keine Diagonale, das Viereck; --- = 2, 
Ä 
5 • 2 
das Fünfeck: —— zz 5 Diagonalen. 
U 
Man kann diese Aufgabe auch in die 
Form eines Lehrsatzes umstellen. 
Lehrsatz 1. n grade Linien kön 
nen sich in höchstens ^ Punkten 
schneiden 
Aufgabe 2- Die Anzahl der Seiten 
eines vollständigen »i-ecks zu finden. 
Auflösung. Je zwei Ecken lassen 
sich durch eine Seite verbinden. 
Man erhält also aus denselben Be 
trachtungen wie in Aufgabe 1. wieder 
n(n — 1) 
2 ' 
Lehrsatz 2. Zwischen n Punkten 
die Zahl 
lassen sich höchstens 
n(n — 1) 
V erbin- 
dungslinicn ziehen. 
Scholion. Nur im vollständigen 
Dreiseit und Dreieck ist die Anzahl der 
Ecken und Seiten gleich, also 3. 
Dagegen hat schon ein vollständiges 
Vierseit 6 Ecken und ein vollständiges 
Viereck 6 Seiten. — Wir bemerken noch, 
dass die Lehrsätze 1. und 2. darum nur 
die grösst-mögliche Anzahl der Schnitt 
punkte bezüglich Verbindungslinien ge 
ben, weil im ersten Falle mehrere Linien 
sich in einem Punkte schneiden, wo dann 
die entsprechenden Schnittpunkte aus- 
fallen, im letzteren Falle mehrere Punkte 
in einer Graden liegen können, wo dann 
aus der Anzahl der Verbindungslinien 
einige Wegfällen. Auch können im er- 
steren Falle einige der gegebenen Linien 
parallel sein. 
Aufgabe 3. Die Anzahl der Diago 
nalen eines n - ecks zu finden. 
Auflösung. Von jedem Endpunkte 
lassen sich nach allen übrigen, mit Aus 
nahme der beiden angrenzenden, also 
durch Seiten verbundenen Diagonalen zie 
hen, und da es n — 3 solcher Punkte 
gibt, so würden für alle n Ecken mithin 
n(n — 3) Diagonalen vorhanden sein. 
Von dieser fällt jedoch wie bei den 
früheren Untersuchungen dieses Ab 
schnittes die Hälfte weg, da die Diago 
nale, welche Ecke A mit B verbindet, 
derjenigen, welche B mit A verbindet 
identisch ist, und somit ist die Anzahl 
der Diagonalen —-. 
Diese Aufgabe enthält den Satz. 
n(n—3) 
Lehrsatz 3. Jedes «-eck hat —— 
Diagonalen. 
Scholion. Wir haben auch von den 
Diagonalen vollständiger «-seite gespro 
chen. Deren Anzahl trifft mit der hier gege 
benen keineswegs zusammen. So z. B. 
hat das vollständige Vierseit (Fig. 89) 
Fig. 89. 
ABCDEF die drei Diagonalen AF, Bl) 
und CE im Gegensatz zu dem Vierecke, 
welches nur zwei Diagonalen hat. 
III. Definitionen und Lehr 
sätze. 
Definition. Wenn man eine Seite 
eines Dreiecks AC (Fig. 90) verlängert. 
Fig. 90 
so bildet die Verlängerung CD mit der 
anstossenden Seite BC einen Winkel BCD, 
welchen man Ausscnwinkel nennt. — Da 
jede Seite nach zwei Richtungen hin ver 
längert werden kann, z. B. AC über A 
und über D hinaus, so hat jedes Dreieck 
im Ganzen sechs Ausscnwinkel. 
Lehrsatz - 
Dreiecks ist ; 
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