Raumlehre. 
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Raumlehre. 
ehre. 
at also das Dreieck 
4-1 
Viereck: = 2, 
5 Diagonalen. 
hält den Satz. 
w(n—3) 
3s «-eck hat — ■—- 
iahen auch von den 
ger n-seite gespro- 
ifft mit der hier gcge- 
isammen. So z. B. 
i Vicrscit (Fig. 89) 
89. 
diagonalen AF, Bl) 
tz zu dem Vierecke, 
agonalen hat. 
len und L ehr - 
enn man eine Seite 
'Fig. 90) verlängert. 
90 
■'r£ 
D 
gerung CD mit der 
C einen Winkel BCD, 
winkel nennt. — Da 
Richtungen hin ver- 
ti, z. B. AC über A 
so hat jedes Dreieck 
nssenwinkel. 
Lehrsatz 4. DerAussenwinkeleines 
Dreiecks ist so gross als die beiden 
Dreieckswinkel zusammen, die nicht seine 
Nebenwinkel sind. 
Beweis. Es soll bewiesen werden, 
dass Aussenwinkel BCD — A + B ist. 
(Die Winkel A, B sind hier mit einem 
Buchstaben bezeichnet, da kein Missver- 
ständniss möglich ist) 
Man zieht Linie CE parallel mit AB. 
Es werden dann die Parallelen AB und 
CE von AD geschnitten, und sind somit 
die Gegenwinkel A und ECD gleich. 
Es werden aber auch AB und CE von 
BC geschnitten, und deshalb sind die 
Wechselwinkel B und BCE gleich. 
Man hat also: 
A + B = BCE + ECD, 
die beiden Winkel rechts aber bilden den 
Winkel BCD, womit unser Satz bewie 
sen ist. 
Der Winkel BCD ist der Nebenwinkel 
von BCA, wird also von demselben zu 
zwei Rechten ergänzt, somit muss auch 
BCA, d. h. der dritte Dreieckswinkel 
A + B, also die beiden andern zu zwei 
Rechten ergänzen, und dies gibt den 
neuen wichtigen Satz; 
Lehrsatz 5, Die Winkel eines 
Dreiecks betragen zusammen zwei Rechte. 
Scholion. In diesem Satze liegt 
auch der Grund, dass zwei Dreieckswinkel 
nothwendig spitze sein müssen, da wenn 
zwei rechte vorhanden wären, der dritte 
Winkel gleich Null sein müsste. Noch 
weniger kann natürlich ein Dreieck zwei 
stumpfe oder einen rechten und einen 
stumpfen Winkel haben. Dagegen hin 
dert nichts, dass alle drei Winkel spitze 
sind. 
Aus dem Lehrsätze 5. folgt noch ein 
wichtiger Zusatz, den wir an folgende 
Erklärung knüpfen: 
„Eine Linie steht auf einer andern 
senkrecht (winkelrecht, oder ist ein Loth 
auf dieselbe), wenn sie mit derselben 
einen rechten Winkel bildet.“ 
Zusatz. Von einem Punkte ausser 
halb einer Linie lässt sich nur eine senk 
rechte auf dieselbe ziehen, denn liessen 
sich von B aus (Fig. 90) die beiden Lothe 
BA und BC auf AC fällen, so wäre BAC 
und BCA rechte Winkel, was unmöglich 
ist, da ein Dreieck nicht zwei dergleichen 
haben kann. 
IV. Aufgabe und Lehrsatz. 
Aufgabe. Die Summe der Polygon 
winkel eines Vielecks zu bestimmen. 
Auflösung. Wir setzen voraus, dass 
keine Seite des Vielecks die andere durch 
schneide, da nur unter dieser Voraus 
setzung die folgende Entwicklung richtig 
ist. Nehmen wir ferner vorläufig an, es 
gäbe einen Punkt 0 innerhalb des Viel 
ecks (Fig. 91 und 92), von welchem aus 
Fig. 91. 
sich Linien nach allen Ecken derart zie 
hen lassen, dass keine der Seiten durch 
schnittenwird. Bei einem Vielecke, welches 
keinen erhabenen Winkel hat (Fig. 91), 
ist dies bei jedem Punkte innerhalb des 
Vielecks der Fall. 
Fig. 92. 
Durch diese von O ausgezogene Linien 
wird das Vieleck offenbar in so viel 
Dreiecke zerlegt als es Seiten hat, also 
in «, wenn die Figur ein «-eck, und da 
die drei Winkel eines solchen zwei Rechte 
betragen, so erhält man 2« Rechte als 
Summe. In derselben sind alle Polygon 
winkel, ausserdem aber die um O lie 
genden Winkel enthalten. Die letzteren, 
welche zwei gestreckte oder vier rechte 
betragen, sind also abzuziehen, und man 
erhält als Summe der Polygonwinkel 
2n — 4 Rechte, 
Diese Betrachtungen würden nicht mehr 
gelten, wenn es keinen solchen Punkt 0 
gäbe, von welchem aus das Vieleck ohne 
die Seiten zu durchschneiden in Dreiecke 
getheilt werden könnte. Um dies zu 
umgehen, wollen wir daher noch auf einem