Raumlehre, 
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Raumlehre. 
andern Wege das obige Resultat zu er- indem man von n Punkten immer jeden 
reichen suchen. vorausgehenden mit dem folgenden ver- 
Wie auch das Vieleck beschaffen sei, bindet. Seien nun zuerst (Fig. 93) eine 
so kann es entstanden gedacht werden, Anzahl von n Punkten A, B, C, D, E, F, 
Fig. 98. 
G, H gegeben, welche auf eine Weise 
verbunden sind, dass je zwei Seiten sich 
nicht durchschneiden und sei s die Summe 
seiner Polygonwinkel. Kommt nun noch 
ein Punkt hinzu, so wird derselbe ent 
weder ausserhalb des Vielecks wie jRT, 
oder innerhalb desselben wie K l liegen. 
Im ersten Falle wird das Vieleck in 
AKB CDEFGHA verwandelt, und es 
kommen zu der Polygonwinkel-Summe 
noch die drei Winkel von Dreieck AKB 
hinzu, so dass man jetzt s + 2 Rechte 
hat. Liegt aber K' innerhalb, so kommt 
der erhabene Winkel AK'B hinzu, den 
wir mit K' bezeichnen, um ihn von dem 
hohlen Winkel AK'B zu unterscheiden, 
und es sind die Winkel K'AB und K'BA 
abzuziehen. Diese werden von dem hoh 
len Winkel AK'B zu zwei Rechten 
ergänzt. Man hat also zu der Polygon 
winkel - Summe zuzuzählen: 
K'-(2R-AK'B) = K'+AK'B-2R*). 
Da aber die Winkel K' + AK'B zusam 
men 4 R betragen, so ist 4ß — 2ß = 2R 
zuzuzählen, also die Summe der Polygon 
winkel wieder s + 2 Rechte. Bei einem 
Dreiecke nun ist s = 2, also beim Vierecke 
2 + 2 = 4, beim Fünfecke 2 + 4 = 6, 
u. s. w., so dass man fürs n-eck wieder 
wie oben 2n — 4 Rechte erhält. 
Dies gibt folgenden Satz: 
Lehrsatz 6. In jedem n-eck, worin 
sich zwei Seiten nicht durchschneiden, 
beträgt die Summe der Polygonwinkel 
2n — 4 Rechte. 
*) Wir bedienen uns in dem Folgen 
den öfter des Zeichens R für einen rech 
ten Winkel. 
V. Definitionen. Von den Viel 
ecken kommen hauptsächlich noch die 
Vierecke in Betracht, Die Summe der 
Polygonwinkel eines solchen beträgt also 
vier Rechte. Ein Viereck hat ferner 
zwei Diagonalen, (Ein vollständiges Vier 
eck deren drei). Sind in einem Viereck 
je zwei Seiten einander parallel, so heisst 
dasselbe Parallelogramm. Sind nur 
überhaupt zwei Seiten parallel, so heisst 
es Trapez. — Sind in einem Parallelo 
gramm alle Winkel rechte, so heisst 
es Rechteck (Oblong); sind alle 
Seiten gleich so heisst es Raute 
(Rhombus); werden diese beiden letzt 
angegebenen Bedingungen erfüllt, so 
nennt man das Parallelogramm Qua 
drat. Wird keine derselben erfüllt, so 
wird es auch wohl Rho mb oid genannt. 
3) Von der Congrucnz der 
Dreiecke. 
I. Vorbemerkung und Defini 
tionen. Nach der allgemeinen Defini 
tion der Congruenz sind Dreiecke dann 
congruent, wenn sie so auf einander ge 
legt werden können, dass sie sich decken. 
Es werden dann natürlich die entspre 
chenden Seiten und Winkel zusammen 
fallen, also gleich sein, und umgekehrt, 
findet dies statt, so werden sich die 
Dreiecke auf einander gelegt decken. 
Der Begriff der Congruenz von Dreiecken 
und überhaupt von Vielecken lässt sich 
aber auch so feststellen, dass alle ent 
sprechenden Seiten und Winkel des einen 
denen des andern gleich sind. Die Lehre 
von der Congruenz der Dreiecke hat 
zum Zweck, zu zeigen, dass man schon 
aus der Gleichheit von einigen dieser