Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Dreiecks in zwei gleiche Theile theilt, 
so wird durch die Theälungslinie das 
Dreieck in zwei congruente Dreiecke 
getheilt.“ 
Indem man die gleichliegenden Stücke 
dieser Dreiecke vergleicht, gelangt man 
zu neuen wichtigen Sätzen. — Es liegen 
Winkel A und C der gemeinschaftlichen 
Seite BD gegenüber, sind also gleich, d. h.: 
Lehrsatz 4. „In jedem gleichschenk 
ligen Dreiecke sind auch die Winkel 
an der Grundlinie (oder die Gegenwinkel 
der Schenkel) gleich.“ 
Winkel BDA liegt AB, und BDC der BC 
gegenüber, es sind also auch diese Winkel 
BDA und BDC gleich. Da sie aber Ne 
benwinkel sind, so müssen sie rechte 
sein. Es sind ferner AD und DC gleich 
liegende Stücke, da sie den Winkeln 
ABD und CBD gegenüherliegen, also 
ebenfalls gleich. Wir fassen beide Re 
sultate in einem einzigen Satz zusammen: 
Lehrsatz 5. „Die Linie, welche 
den Winkel an der Spitze in zwei gleiche 
Theile theilt oder halbirt, halbirt auch 
die Grundlinie, und bildet mit letzterer 
rechte Winkel, (steht senkrecht, winkel- 
recht? auf derselben).“ 
Da es nun nur eine Linie gibt, die 
aus der Mitte D von AC gezogen auf 
derselben senkrecht steht, so muss dies 
die Halbirungslinie des Winkels B sein, 
also: 
Lehrsatz 6. „Die Linie, welche 
aus der Mitte der Grundlinie eines gleich 
schenkligen Dreiecks gezogen auf der 
selben senkrecht steht, geht durch die 
Spitze des Dreiecks und halbirt den 
Winkel an derselben.“ 
Es lässt sich ferner nur eine Linie 
ziehen, welche die Spitze B mit der 
Mitte D der Grundlinie AC verbindet, 
also: 
Lehrsatz 7. „Die Linie, welche die 
Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks 
mit der Mitte der Grundlinie verbindet, 
halbirt den Winkel an der ersteren, und 
steht senkrecht auf der letzteren.“ 
Fig. 
Auch lässt sich nur eine Linie von B 
senkrecht auf AC ziehen, also: 
Lehrsatz 8. „Die Linie, welche 
von der Spitze senkrecht auf die Grund 
linie gezogen wird, halbirt die letztere 
und den Winkel an der ersteren.“ 
Nehmen wir jetzt an, in Dreieck ABC 
(Fig. 95) sei Winkel A — C. Wir hal- 
biren wieder den Winkel B durch Linie 
AD, und es entstehen dann ebenfalls 
die congruenten Dreiecke ABD und 
CBD, da die Winkel bei B, A — C und 
BD sich selbst gleich also entsprechend 
eine Seite und zwei gleichliegende Winkel 
übereinstimraen. Gleichliegende Stücke 
aber sind dann AB und CB, also ein 
ander gleich. 
Dieser Satz bildet die Umkehrung des 
Lehrsatzes 4. nämlich: 
Lehrsatz 9. „Wenn in einem Drei 
ecke zwei Winkel gleich sind, so sind 
auch ihre Gegenseiten gleich. (Das 
Dreieck ist also gleichschenklig.)“ 
An diese Sätze sind noch folgende 
Betrachtungen zu knüpfen. — Ist AC 
(Fig. 95) eine beliebige Linie, BD aus 
ihrer Mitte senkrecht gezogen, und ein 
beliebiger Punkt B von BD mit A und 
C verbunden, so entstehen die congruen 
ten Dreiecke ABD und CBD. In ihnen 
ist nämlich AD —CD, BD — BD, Winkel 
ABD = CBD als rechte, also zwei Seiten 
und der eingeschlossene Winkel gleich. 
Es sind also auch die gleichliegenden 
Stücke AB und CB gleich, d. h. Punkt B 
ist von A und C gleich weit entfernt. 
Also: 
Lehrsatz 10. „Wenn man aus der 
Mitte der Verbindungslinie zweier gege 
benen Punkte eine Senkrechte auf der-' 
selben errichtet, so ist jeder Punkt der 
letzteren von beiden gegebenen Punkten 
gleich weit entfernt.“ 
Es kann aber auch keinen Punkt 
ausserhalb BD geben, der von A und 
C gleich weit entfernt wäre. Denn wäre 
E (Fig. 96) ein solcher, so könnte man 
EC und EA ziehen, von denen die er- 
96.