lehre. 
c Ungleichheit der 
„Wenn in einem 
n ungleich sind, so 
ihren Gegenwinkeln 
1 der grösseren Seite 
ig. 99) ABC das ge- 
99. 
Raumlehre. 
107 
Zusatz. „Wenn von einem Punkte A 
(Fig. 100) aus nach einer Graden BD 
Fig. 100. 
Raumlehre. 
Fig. 101. 
AB grösser als BC, 
rden, dass auch der 
?, nämlich C grösser 
mwinkel von BCA. 
AB Stück BD = BC 
o ist in dem gleich- 
; BDC Winkel BDC 
lenfalls BCA oder C 
etzterer Winkel aber 
l Dreieck ADC, also 
DAC und DCA zu- 
:r als DAC oder A\ 
mehr C grösser als 
;5sen war. — Dieser 
ikehrung fähig, d. h.: 
„Wenn in einem 
:el ungleich sind, so 
Gegenseiten die Grös- 
rösseren Winkel ge- 
Fig. 99) Winkel C 
)11 auch AB grösser 
letzteres nicht der 
ler AB — BC, in wel- 
ieck gleichschenklig, 
1 sein müsste, was 
widerspricht, oder es 
als AB sein, in wel- 
m vorigen Satze auch 
, Es bleibt also nur 
entsprechende Mög- 
rösser als BC ist. 
in einem rechtwink 
ligen Dreieck jeden- 
iglich stumpfe Winkel 
eieck so ist, so muss 
a gegenüberliegende 
im Dreiecke sein. 
Im rechtwinkligen 
dem rechten Winkel 
also grösseste Seite 
lannt, die beiden an- 
eten. 
C ß 
beliebige Linien gezogen werden, AB, 
AC, AD, worunter eine senkrechte AB, 
so ist diese die kürzeste, und die Linien 
werden immer grösser, je mehr sie sich 
von der senkrechten entfernen.“ 
Es ist nämlich im rechtwinkligen 
Dreieck ABC die dem rechten Winkel 
gegenüberliegende Seite AC grösser als 
AB, im stumpfwinkligen Dreiecke ACD 
die dem stumpfen Winkel gegenüberlie 
gende Seite AD grösser als AC, u. s. w. 
Hier zu nennen ist auch der selbst 
verständliche Satz: 
Lehrsatz 18. „Zwei Seiten eines 
Dreiecks sind immer grösser als die 
dritte.“ — Denn zwei Seiten AC und 
CB bilden eine gebrochene Linie, welche 
zwei Punkte A und B verbindet, wäh 
rend die Grade AB, also die dritte Seite 
die kürzeste Verbindung derselben ist. 
Aus diesem Satze folgt dann leicht der 
folgende: 
Lehrsatz 19. „Wenn man von einem 
Punkte D im Innern eines Dreiecks ABC 
(Fig. 101) zwei Grade nach den Eck 
punkten A und B zieht, so sind sie zu 
sammen kleiner als die Seiten AC+BC.“ 
Beweis. Man verlängere AD bis 
zum Schnittpunkte E mit BC, so ist 
nach dem vorigen Satze AE kleiner als 
AC -f CE, also wenn man auf beiden 
Seiten das Stück EB hinzufügt, AE-\-EB 
kleiner als AC+CB. Ferner DB kleiner 
als DE-\-EB, also wenn man auf beiden 
Seiten das Stück AD hinzufügt: AD-{-DB 
kleiner als AE-\-EB und um so mehr 
als AC+CB. 
Lehrsatz 20. „Wenn in 2 Dreiecken 
je 2 Seiten bezüglich gleich, die einge 
schlossenen Winkel aber ungleich sind, 
so ist die dritte Seite in demjenigen 
Dreieck die grössere, wo ihr der grössere 
Winkel gegenüberliegt.“ 
Beweis. Wir haben 3 Fälle zu un 
terscheiden. Immer nämlich kann man 
das eine Dreieck so auf das andre legen, 
dass eine Seite des einen AB mit der 
des andern zusammenfällt. Die andere 
Seite BD des einen wird dann mit AB 
gleichen BC des andern nicht zusam 
menfallen, und es kann Punkt D a) aus 
serhalb des Dreiecks ABC, b) in die 
Seite A C, c) innerhalb des Dreicks fal 
len. Fall a) (Fig. 102) Möge BD die AC 
in E schneiden, so ist AD kleiner als 
Fig. 102. 
AE-\-ED, BC kleiner als BE-{-EC, also als AC sein, wie zu beweisen war, — 
durch Addition AD + BC kleiner als Fallb): hier ist der Satz selbstverständ- 
AE-\-ED+BE-\-EC, d. h. als BD+AC, lieh wahr. — Fall c) (Fig. 103) Aus 
da aber BD — BC, so muss AD kleiner Lehrsatz 19. folgt unmittelbar, dass