Raumlehre. 
108 Raumlehre. 
Fig. 103. 
AD-\-DB kleiner als AC + CB ist, und 
da DB = CB, so muss AD kleiner als 
AC sein. Dieser Satz ist einer Umkeh 
rung fähig. 
Lehrsatz 21. „Wenn in 2Dreiecken 
2 Seiten des einen bezüglich denen des 
andern gleich, die dritten Seiten aber 
ungleich sind, so liegt in demjenigen 
Dreiecke, wo diese dritte Seite die grös 
sere ist, ihr auch der grössere Winkel 
gegenüber. 
B eweis. Denn seien(Fig. 98) AB = DE, 
AC—DF und BC grösser als EF. Neh 
men wir dann an, Winkel A wäre gleich 
D, so wären die Dreiecke congruent, 
(2 Seiten und der eingeschlossene Win 
kel gleich,) mithin gegen die Voraus 
setzung BC—EF. Wäre ferner D grös 
ser als A, so müsste nach dem vorigen 
Satze, aber ebenfalls gegen die Voraus 
setzung, EF grösser als BC sein; cs 
bleibt also nur der dritte Fall als mög 
lich übrig, dass Winkel A grösser als 
D ist. 
VII. Lehrsatz und Scholion. 
Mit Hülfe der Betrachtungen des vori 
gen Paragraphen lässt sich in einem be 
stimmten wichtigen Falle dem Lehrsatz 15. 
eine andere Form geben. 
Lehrsatz 22. „Zwei Dreiecke sind 
congruent, wenn in ihnen entsprechend 
2 Seiten und die Gegenwinkel der grös 
seren Seite gleich sind.“ 
Beweis. Da nur der grössesten Seite 
eines Dreiecks ein rechter oder stumpfer 
Winkel gegenüber liegen kann, so sind 
die Gegenwinkel der andern gegebenen 
Seite immer gleichzeitig spitz. Es er 
füllt sich also die Bedingung des Lehr 
satzes 15. von selbst. 
Scholion. Wir stellen hier die vier 
oder 5 Sätze von der Congruenz noch 
mals zusammen. 
Zwei Dreiecke sind congruent: 
A. Wenn 2 Seiten und der eingeschlos 
sene Winkel, 
B. wenn eine Seite und 2 Winkel, 
C. wenn alle 3 Seiten, 
D. wenn 2 Seiten und der Gegenwinkel 
der grösseren von ihnen. 
E. wenn 2 Seiten und der Gegenwinkel 
der kleineren 
entsprechend gleich sind. Im letzteren 
Falle mit der Massgabc, das man ausser 
dem noch wissen muss, ob die Gegen 
winkel der kleineren Seite beide gleich 
zeitig spitz oder recht oder stumpf sind. 
Mit dieser wohl zu berücksichtigenden 
Ausnahme, kann man sagen, Dreiecke 
seien congruent, wenn ihnen entweder 
alle 3 Seiten, oder 2 Seiten und ein 
Winkel oder eine Seite und 2 Winkel 
gleich seien, kurz wenn von den 6 Stücken, 
die ein Dreieck enthält den 3 Seiten und 
den 3 Winkeln überhaupt 3, die jedoch 
nicht alle gleichzeitig Winkel sein dür 
fen, gleich sind. 
Was die Bezeichnung der Congruenz 
anbetrifft, so wollen wir noch folgende 
Bemerkung machen. — Sagt man z. B. 
Dreieck ABC sei congruent DEF, so ist 
damit an sich noch nicht festgestellt, wel 
ches die gleichen Seiten bezüglich Winkel 
der Dreiecke sein. Wir werden nun 
durchgehend festsetzen, dass die 3 Buch 
staben, welche ein Dreieck bezeichnen, 
so geschrieben werden sollen, dass die 
Bezeichnungen der gleichen Winkel und 
Seiten in gleicher Ordnung folgen. Schrei 
ben wir also ABC DEF, so heisst 
dies, dass Winkel A — D, B = E, C—F, 
und Seite AB —DE, BC — EF, AC—DF 
ist. Es ist also die Reihenfolge der 
Buchstaben nur bei einem der congruen- 
ten Dreiecke als willkürlich zu betrachten. 
Was die Congruenz der Vielecke an 
betrifft, so gilt für dieselben folgender 
selbstverständliche Satz: 
Zusatz. „Zwei Vielecke sind con 
gruent, wenn sie sich in irgend einer 
Weise in derselben Reihenfolge in gleich 
liegende congrucnte Dreiecke zerlegen 
lassen.“ 
Ist die Reihenfolge der congruenten 
Dreiecke nicht dieselbe, oder liegen die 
selben nicht gleich, so sind die Vielecke 
zwar nicht congruent aber flächengleich. 
Die Sätze von der Congruenz verein 
fachen sich natürlich für gceichschenk- 
lige und für rechtwinklige, noch mehr 
für gleichseitige Dreiecke. 
Da namentlich in den letzteren die 
Winkel gegeben sind, so sind sie con 
gruent, wenn in beiden eine Seite gleich ist. 
VIII. Definitionen und Lehr 
sätze. Die folgenden Betrachtungen 
beziehen sich auf Parallelogramme, in 
Bezug auf welche sich aus der Con- 
grueuz der Dreiecke wichtige Folgerun 
gen ergeben. 
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D e f i n 11 i c 
ein beliebige 
eine Diagom 
merkt, wird ( 
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lelogramm tl 
welche sich 
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Dreiecke.“ 
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man AB pai 
so entsteht 
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Definiti 
von einer f 
Parallelogra