xilehre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
,Wenn in einem Pa- 
inkel ein rechter ist, 
i Rechteck oder ein 
elogramm ein Winkel 
imme desselben und 
s kleiner als zwei 
ei den anderen Gegen- 
össer als zwei rechte, 
nd, jeder davon grö- 
inithin ein stumpfer. 
„Die Rhomben und 
en immer zwei spitze 
Vinkel.“ 
tze gehen charakte- 
ften der Rechtecke, 
iben. 
, 107) ein Rechteck, 
Diagonalen, so ist 
107. 
)C, da Winkel D-C 
>, DC-DC ist, mit- 
D. h.: 
,Die Diagonalen eines 
ch.“ 
108) ein Rhombus, 
108. 
Diagonalen, so ist 
) die Mittellinie des 
»reiecks ADB, und 
der Grundlinie DB 
7). also : 
Die Diagonalen eines 
f einander senkrecht.“ 
rt sowohl den Recht 
ecken an, da seine Winkel rechte, als 
auch den Rhomben, da seine Seiten 
gleich sind; es nimmt also an den Eigen 
schaften beider Theil. D. h.: 
Lehrsatz 32. „Die Diagonalen eines 
Quadrates sind einander gleich, und ste 
hen auf einander senkrecht.“ 
4) lieber die Flächengl eichhei t 
unddieAusmessung der Vielecke. 
I. Lehrsätze. Der folgende Satz 
liegt den Betrachtungen dieses Abschnit- 
Eig. 
tes zu Grunde, und ist daher als Haupt 
lehrsatz zu bezeichnen. 
Lehrsatz 1, „Zwei Parallelogramme, 
die gleiche Grundlinien und gleiche Höhe 
haben, sind flächengleich.“ 
Beweis. Seien ABCD und EFGH 
(Fig. 109) die Parallelogramme, also die 
Grundlinien AB = EF, und ebenso die 
entsprechenden Höhen. Wir legen diese 
Parallelogramme so, dass AB und EF 
in einer graden Linie liegen, ohne zu 
sammenzufallen ; es ist dann ersichtlich, 
109. 
dass auch CD und GH in einer Graden 
liegen, da sonst die Höhen, d. h. die 
senkrechten Entfernungen dieser Linien 
von AB und EF nicht gleich sein könn 
ten. Betrachten wir nun die Trapeze 
ADHE und BCGF, so sind in densel 
ben alle Winkel bezüglich gleich, denn 
es sind z. B. DAE und EBF Gegen 
winkel paralleler Linien, und gleiches 
gilt von den andern Winkeln. Auch sind 
alle Seiten entsprechend gleich, nämlich 
AD — BC, HE=GF als Gegenseiten von 
Parallelogrammen, AE—BF, da sie aus 
den gleichen Stücken AB — EF und dem 
gemeinschaftlichen BE bestehen, ebenso 
DH—CG, da sic CH gemein haben, und 
DC=HG ist. Es sind also die Trapeze 
congruent, also jedenfalls flächengleich. 
Zieht man von beiden aber das gemein 
schaftliche Stück BEHC ab, so bleiben 
ADCB und EHGF, und diese Parallelo 
gramme sind also, wie zu beweisen war, 
flächengleich. 
Dieser Satz ist umzukehren: 
Lehrsatz 2. „Parallelogramme, die 
gleiche Grundlinie und ungleiche Höhe, 
und gleiche Hohe und ungleiche Grund 
linie haben, können nicht flächengleich 
sein.“ 
Beweis. Denn habe von den Paral- 
lelogrammenTRCÖ und EFGH (Fig.110), 
wo DC — HG ist, das letztere die grös 
sere Höhe EK, so lässt sich KL gleich 
der Höhe von ABCD abschneiden und 
Fig. 110. 
durch L ziehen MN parallel HG. Dann 
ist Parallelogramm MNGH flächengleich 
mit ABCD, es kann also EFGH, welches 
grösser ist, diese Eigenschaft nicht haben. 
Seien jetzt die Grundlinien ungleich 
aber die Höhen gleich (Fig. 111) und zwar 
HG grösser als DC; wird dann HK—DC, 
KL parallel EH, so ist ELKH = ABCD, 
also kann EFGH diese Eigenschaft nicht 
haben. 
Hieraus folgt dann leicht. 
Lehrsatz 3. „Parallelogramme von 
gleicher Grundlinie und gleichem Flä 
cheninhalt haben gleiche Höhe, Paralle 
logramme von gleicher Höhe und glei 
chem Flächeninhalt gleiche Grundlinie. 
Beweis, Denn wären die Höhen be 
züglich Grundlinien nicht gleich, so er 
gäben sich nach dem vorigen Satze un 
gleiche Flächeninhalte.