I Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 116. 
dem letzten Satze das Quadrat über AB 
geich der Sum me derer überfiO und AD, 
zugleich aber nach Lehrsatz 6 , das erst 
genannte Quadrat gleich dem Rechtecke 
BK, also dieses Rechteck gleich der 
Summe der Quadrate über BD und DA. 
Macht man BG gleich BD, und zieht 
GH parallel BD, so ist BGHD das Qua 
drat über BD, also Rechteck GE gleich 
dem Quadrate über AD. Aber G7/= BD, 
GD = BD-BG = BC~DB = DC, so dass 
dieses Rechteck zu Seiten DB und DC 
also die Abschnitte der Hypotenuse hat, 
und ist dasselbe, wie zu beweisen war, 
gleich dem Quadrate über AD. 
IV. Erläuterungen und Defi 
nitionen. Eine Raumgrösse ausmes 
sen heisst finden, wie oft eine andere 
gleichartige in ihr enthalten ist. Die 
letztere heisst das Maass. Das Maass 
einer Linie ist also immer eine Linie, 
das einer Fläche eine Fläche, u. s. w. 
Im fiebrigen ist das Maass an sich will 
kürlich. Die Zahl, welche angibt, wie 
oft das Maass in einer gegebenen Raum 
grösse enthalten ist, heisst Zahlenwerth 
derselben. Sie wird nicht immer eine 
ganze Zahl sein. Ist sie ein echter oder 
15 v 
unechter Bruch ~ oder —. so heisst 
8 q ■ 
dies, dass die zu messende Grösse 15 (¡p) 
mal den 8ten (yten) Theil des Maasses 
enthalte. Nimmt man also als Maass 
den /Den Theil des ursprünglichen, so 
ist die Zahl eine ganze. Lässt sich von 
zwei gegebenen gleichartigen Grössen 
keine durch einen genauen Bruch durch 
die andere ausdrücken, so nennt man 
die Grössen incommensurahel. Nimmt man 
dann einen beliebigen Theil der einen 
als Maass, so wird dies in der andern 
immer eine gewisse ganze Anzahl von 
Malen enthalten sein, aber dabei ein 
Stück übrig bleiben, welches kleiner als 
das Maass ist. Da nun letzteres so klein 
als man will genommen werden kann, 
so lässt sich die eine Grösse immer durch 
die andere mittels eines Bruches, wenn 
auch nicht völlig genau, doch mit einem 
beliebig klein zu machenden Fehler aus 
drücken. 
Das Maass der Linien und der Flä 
chen ist allerdings beliebig und von ein 
ander unabhängig, jedoch bieten sich 
, grosse Bequemlichkeiten dar, wenn man 
beide in eine gewisse Beziehung setzt, 
und zwar ist dieselbe folgender Art. 
Als Maass der Linien bestimmt man 
eine Grade von beliebiger Länge, als 
Maass der Flächen ein Quadrat, welches 
diese Linie zur Seite hat. Diese Be 
stimmung ist bei den folgenden Betrach 
tungen immer vorausgesetzt. — Was 
das Maass der Winkel anbetrifft, so bietet 
sich als solches von selbst der gestreckte 
oder der rechte Winkel dar. Sind klei 
nere Maasse nöthig, so nimmt man den 
OOsten Theil des rechten Winkels, Grad 
genannt, hierzu. Der 60ste Theil des 
Grades wird Minute (mxnulum primum), 
der 60ste Theil der Minute, Secunde 
(mxnulum secundum) genannt. — Selbst 
verständlich findet bei Linien und Flä 
chen ein solches sich natürlich darbie 
tende Maass nicht statt. — Statt des 
Ausdrucks Maass kann man auch den 
der Einheit (des Messens) anwenden. 
V. Lehrsätze. 
Lehrsatz 9. „Wenn man die beiden 
anstossenden Seiten eines Rechtecks in 
eine Anzahl gleicher Theile theilt, die 
eine Seite in p die andere in q solcher 
Theile, so wird dadurch das Rechteck 
in eine Anzahl von p • q Quadrate ge- 
theilt, deren jedes einen solchen Theil 
zur Seite hat. 
Beweis. Sei z. B. das Rechteck 
ABDC (Fig. 117) gegeben, und Seite AB 
in vier Theile aa!, a!a", a”a'", n'"B, AC 
in deren sechs Ab, bc, cd, de, ef, fC ge- 
theilt, die alle unter einander gleich sind. 
Zieht man durch jeden der Theilpunkte 
von AB Linien parallel mit AC, und 
durch jeden Theilpunkt von AC solche 
parallel mit AB, so entsteht eine Anzahl 
Vierecke, die wir zunächst als Rechtecke 
bezeichnen können, da alle Winkel rechte 
sind. Es ist aber auch Aa' = bb', 
a'a"= b'b" ..., Ab-a’b', bc-b'c'... 
immer als Parallelen zwischen Parallelen. 
Es sind also auch alle Seiten gleich, die 
Vierecke alsc 
selben einen 
die Anzahl di 
zen vier dav 
befinden sich 
derholt sich 
so dass man 
Zahl der Th 
p • q solcher 1 
Zusatz. ] 
ecks ein Qr 
Seite in p TI 
die andere Se 
Quadrat also 
legt. 
Auf diesen 
der Rechteck 
Lehrsatz 
eines Rechte 
man den Zal 
den Seiten m 
Erlänter 
IV., dass ma 
der Zahlenwi 
Flächeneinhei 
die Linienein 
Rechtecke en( 
Seiten bezügl 
hält das Reel 
d. h. Quadrate