Raumlehre. 116 Raumlehre. 
incommensurabel, so denke man eine be 
liebige Linie n, die dem s ten Theile des 
Maasses gleich ist. Werden dann Seiten 
AB und AD (Fig. 118) in Theile ge- 
Fig. 118. 
theilt, die gleich n sind, so bleibt von 
AB ein Stück EB übn’g und von AD 
ein Stück GD, welche beide kleiner als 
n sind. Es entsteht dabei ein Rechteck 
AEFG, welches kleiner als ABCD ist, 
und das genau sich durch ein Quadrat 
mit Seite n, also durch den s -sten Theil 
des Flächenmaasses, also mittels eines 
Bruches ganz wie oben gezeigt, durch 
das Flächenmaass selbst ausdrücken lässt. 
Enthalte jetzt AE die Linie n pmal, AG 
dieselbe (/mal, so ist um ABCD zu fin 
den, noch das Stück EBCH+DGFH hin 
zuzunehmen. Da EB kleiner als n ist, 
so enthält EBCH das Quadrat, welches 
n zur Seite hat weniger als (/mal, und 
DFHG dasselbe weniger als p mal. Da nun 
n beliebig klein genommen werden kann, 
so lässt sich der Fehler EBCH-\-DGFli 
so klein machen, dass er ein beliebiger 
Theil des Fhächenmaasses wird, also auf 
jede gegebene Grenze der Genauigkeit 
mit letzterem übereinstimmt. 
Zusatz. „ Der Flächeninhalt eines Qua 
drats wird gefunden, wenn man den Zah 
lenwerth der Seite mit sich selbst mul- 
tiplicirt, d. h. ins Quadrat erhebt.“ 
Es folgt dies einfach daraus, dass ein 
Quadrat ein Rechteck mit gleichen Sei 
ten ist. 
Scholion. Ein Zahl mit sich selbst 
multiplicirt giebt bekanntlich eine andre, 
die man das Quadrat der ersteren nennt. 
Es ist einleuchtend, wie dieser Ausdruck 
der eben gegebenen geometrischen Be 
trachtung entnommen ist. Man bezeichnet 
aber auch, die arithmetische Ausdrucks 
weise anschliessend, das Quadrat, welches 
AB zur Seite hat, mit AB*, auch das 
Rechteck, welches AB und AD zu Seiten 
hat mit AB • AD, indem man für die 
Linien und Flächen ihre Zahlenwerthe 
substituirt denkt. Arithmetische Sätze 
zeigen nun leicht, wie man aus Zahlen- 
werthen von Quadraten und Rechtecken 
die Seiten finden kann. Auch führen 
arithmetische Betrachtungen leicht zu 
geometrischen Sätzen, wenn man berück 
sichtigt, dass jedes Product von Zahlen 
unter deren Einheit man sich eine Linie 
denkt den Flächeninhalt eines Rechtecks 
verstellt. Z. B. Sei m der Zahlenwerth 
eines Quadrats, x der von dessen Seite, 
so ist 
x' 1 — in, x — )/ m 
d. h.: 
„Der Zahlenwcrth der Seite eines Qua 
drats wird aus dem des letzteren ge 
funden, wenn man die Quadratwurzel 
auszieht.“ 
Sei ferner a der Zahlenwerth der einen 
Seite eines Rechtecks, in der Flächen 
inhalt, und suchen wir die andere Seite x, 
so ist 
in 
ax = m, x——, 
a 
Seien a nud h die Katheten eines recht 
winkligen Dreiecks (Zahlenwerthe dersel 
ben), so ergibt sich die Hypotenuse x 
in folgender Weise. Nach dem Pytha- 
goraeischen Satze ist: 
x*—a*h* also x — ]/a a + b* 
u. s. w. Die bekannte arithmetische 
Formel: 
(a + i) 5 = d J 4■ b* + 2ab 
giebt wenn man sich unter a und b 
Linien denkt folgenden wichtigen Satz: 
A) „Theilt man die Seite eines Qua 
drats in zwei beliebige Theile, so wird 
das Quadrat aus vier Stücken bestehen, 
wovon zwei Quadraten gleich sind, welche 
immer eins der Stücke zu Seiten haben, 
und die beiden andern Rechtecken, welche 
beide Stücke zu Seiten haben.“ 
B) „Ein Quadrat dessen Seite die Dif 
ferenz zweier gegebenen Linien ist, ent 
hält das Quadrat jeder dieser Linien 
weniger zwei gleichen Rechtecken, die 
beide zu Seiten haben.“ 
Der folgende Paragraph giebt eben 
falls eine Anwendung dieser Betrach 
tungen. 
E 
VI. Lehn 
L ehrsatz 
ist das Quadra 
spitzen Winke 
der Summe t 
Winkel, BD s< 
die Projection 
beweisen, dass 
AB* = Ai 
wo die arithr 
vorigen Parag 
tung haben. . 
ADB ist: 
AB 
da man aber 
Al 
also: 
AD*=:AC 
so ergibt sich 
AB* — AC* ■ 
und da in dei 
BDC ist: 
DB- 
so ergibt sich 
langt: 
AB* ~ AC 
Lehrsatz 
winkligen Dri 
dem stumpfer 
den Seite gle 
drate der beid 
um das dopj 
dieser Seiten 
andern auf di 
Beweis, 
stumpfer Wini 
sein, so ist 
AB* = BD*-\-l 
=Bl 
BD* + CD 2 = 
AB* = JSi 
womit unser i