Raumlehre. 118 Raumlehre. 
selben einzel 
Ausmessung 
auf beliebige 
ist man mitte 
Stande. Inde 
Punkte in de 
annimmt (Fig 
grade Linien 
Vieleck, dess 
linigen Figm 
womit der Satz für diesen Fall erwie 
sen ist. 
Sei jetzt (Fig. 122) das Parallelogramm 
kein Kechteck, DAB der spitze Winkel, 
mithin auch CBF = DAB ein solcher, ziehe 
man DE und CF senkrecht auf AB, so ist 
Dreieck ADE £ BCF, denn ausser den 
Winkeln DAE und CBF sind die Rechten 
einander gleich, und AD = CB. Es ist 
also auch AE = BF. Man hat nun in 
dem spitzwinkligen Dreiecke BAC nach 
Lehrsatz 11.: 
BDI = AD* + AB* - 2AB • AE 
und im stumpfwinkligen Dreiecke ABC : 
AC* = AB 2 + BC* + 2AB • BF 
aber da AB • AE — AB • BF ist, ergibt 
sich durch Addition, wenn man noch für 
AB einmal das gleiche CD setzt: 
AC* + BD* = AB 2 + BC* + AC* + DC 2 , 
womit der Satz allgemein bewiesen ist. 
Aus diesem Satz lässt sich auch auf 
Dreiecke eine Anwendung machen. Dazu 
bedürfen wir jedoch eines andern Satzes. 
Lemma. „Wenn die beiden Dia 
gonalen eines Vierecks sich halbiren, so 
ist dasselbe ein Parallelogramm.“ 
Beweis. Es sei (Fig. 121) BE = ED, 
ÄE=EC. Dann ist Dreieck A EB £ CE D, 
da 2 Seiten und die eingeschlossenen 
Winkel (als Scheitelwinkel) gleich sind. 
Hieraus folgt AB—CD. 
Ebenso zeigt sich die Congruenz der 
Dreiecke BE C und CEA, woraus AD = BC 
folgt, und somit hat das Viereck je zwei 
gleiche Gegenseiten, und ist somit ein 
Parallelogramm. 
Ist nun ABC (Fig. 122) ein beliebiges 
Dreieck, E die Mitte von AC, so kann 
man leicht das Parallelogramm vervoll 
ständigen. 
Für das Letztere gilt dann Lehrsatz 13. 
oder wenn man setzt AD = BC, DC~AB, 
BD — 2BE, so erhält man: 
2AB*+2BC* - AC- + {2- BE)* 
= AC* + 4:BE*, 
d. h. 
AB* ■+■ BC' 2 : 
AC 2 
+ 2 BE 2 , 
oder: 
Zusatz. „Wenn man in einem Drei 
ecke die Mitte einer Seite mit der ge 
genüberliegenden Ecke verbindet, so ist 
die Quadratsumme der beiden sie ein- 
schliessenden Seiten gleich dem halben 
Quadrate der dritten Seite vermehrt um 
das doppelte Quadrat der Verbindungs 
linie.“ 
Offenbar spricht sich dieser Satz weit 
weniger gut als der Lehrsatz 13. aus, 
mit dem er eigentlich identisch ist. 
VIII. Lehrsätze. Aus der Aus 
messung der Rechtecke folgen sehr ein 
fach die Grundzüge für die Ausmessung 
der übrigen Vielecke. Zunächst folgt 
daraus, dass jedes Parallelogramm einem 
Rechtecke von gleicher Grundlinie und 
Höhe flächengleich ist, bei dem letzteren 
aber die Höhe mit der an die Grund 
linie anstossenden Seite gleichbedeu 
tend ist. 
Lehrsatz 14. „Der Flächeninhalt 
jedes Parallelogramms ist gleich dem 
Producte aus Grundlinie und Höhe des 
selben.“ 
Ferner, da ein Parallelogramm doppelt 
so gross ist als ein Dreieck von gleicher 
Grundlinie und Höhe: 
Lehrsatz 15. „Der Flächeninhalt 
jedes Dreiecks ist gleich dem halben 
Product aus Grundlinie und Höhe. 
Scholion. Mit diesem Satze ist die 
Möglichkeit gegeben jedes Vieleck aus 
zumessen, indem man es auf irgend eine 
Art in Dreiecke theilt, und jedes der- 
Fig. 121. 
Fig. 122.