Raumlehre. 
122 
Raumlehre. 
Sind ferner — = 
b ~ d’ f~l 2 bel,e ’ 
bige Proportionen, so erhält man durch 
Multiplication: ^ = und durch Di- 
ah 
vision: 
a b c d 
e f ~ 9 h ' 
Sätze. „Aus zwei Proportionen kann 
man eine dritte finden, wenn man die 
entsprecchcndcn Glieder mit einander 
multiplicirt bezüglich dividirt.“ 
Hiernach folgt aus den Proportionen: 
« 4- ¿ c + <f , a — b 
= , und 
a c a 
durch Division: 
c — d 
c 
a + b _c + d 
a — b c — d’ 
also: 
Satz. „Die Summe der Vorderglieder 
verhält sich zu deren Differenz, wie die 
Summe der Hinterglieder zu deren Dif 
ferenz. 
Difinitionen. Haben mehrere Pro 
portionen die Hinterglieder gemein, hat 
man also; 
a _ f b _ g c _ h d _ k 
e l ’ e 1' e Z’e l 
so schreibt man diese Combination auch: 
a : b : c : d : e = f: g : h : k : l 
und nennt dieselbe laufende Proportion. 
Vertauscht man in allen Proportionen 
aus denen dieselbe besteht, die innern 
Gliedei - , so ergibt sich: 
a _b_c_d_e 
7 ~ J ~ T ~ T ~ T* 
hieraus erhält man sogleich: 
a 4- b _f+g 
a f ’ 
oder: 
a 4- b _ a _ c _ d __ e 
f+9 ~ f ~ h ~ k ~ l ' 
also auch: 
a + b + c _ c_ _ d^ _ 
f g h h k l ’ 
a+b-\-c+d _ e 
f+g+h+k ~ T’ 
a-\-h~\-c-\-d-\-e _ e _ a 
i+9+h+k+l l f’ 
oder auch: 
fl-f b+c+d-{-e f ~{-g-\-h-\-k+l 
a ~ l 
Satz: „In einer laufenden Proportion 
verhält sich die Summe aller Glieder vor 
dem Gleichheitszeichen zum ersten da 
von, wie die Summe aller Glieder hinter 
dem Gleichheitszeichen zum ersten davon.“ 
Definition. Eine Proportion heisst 
stetig, wenn die mittleren Glieder gleich 
sind, also ~ — — ist eine solche, ¿heisst 
b c 
mittleres Glied oder mittlere Proportio 
nale von a und c. 
Man hat offenbar b 2 = ac. D. h.: 
Satz. „Das Quadrat des mittleren 
Gliedes ist gleich dem Product der äus 
seren.“ 
Anmerkung. Sind ab, cd Linien, 
und ist = folglich bc = ad, so 
o d 
kann man sagen: 
„In jeder Proportion ist das Rechteck 
ans den inneren Gliedern gleich dem 
aus den äussern.“ 
Stehen a, b, c, in stetiger Proportion, 
ist also 6 1 = ac, so hat man ferner den 
Satz; 
„Das Quadrat des mittleren Gliedes 
ist gleich dem Rechteck aus den äusseren.“ 
b ist also die Seite eines Quadrats, das 
einem Rechteck mit Seiten n und c flä 
chengleich ist, und die Aufgabe, die mitt 
lere Proportionale von a und c zu finden, 
also identisch mit der, ein Rechteck in 
ein Quadrat zu verwandeln. 
II. Lehrsätze. Einfache aber wich 
tige Sätze über Proportionalität der Fi 
guren ergeben sich aus den Messungen 
des vorigen Abschnittes. 
Seien p, P die Flächeninhalte zweier 
Parallelogramme, g, G bezüglich ihre 
Grundlinien, h, H ihre Höhen, und seien 
d, D die Flächeninhalte zweier Dreiecke 
mit bezüglich denselben Grundlinien und 
Höhen, so ist: 
p=gh, P = GH, 
also durch Division: 
P _ 9 h 
P ~ GH’ 
Ferner 
also: 
d ah 
T) ~ GH’ 
Lehrsatz 1. „Zwei beliebige Paral 
lelogramme oder Dreiecke verhalten sich