Raumlehre. 
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Raumlehre. 
wie die Producte aus Grundlinien und 
Höhe.“ 
Ist aber g — G, so hat man: 
p d h 
T~T)~ü' 
und wenn h — H ist: 
p__ _ o_ 
P D ~ G' 
d. h.: 
Lehrsatz 2. „Zwei Parallelogramme 
oder Dreiecke von gleicher Grundlinie 
verhalten sich wie ihre Höhen, zwei von 
gleicher Höhe wie ihre Grundlinien.“ 
Aus diesen einfachen Betrachtungen 
beweisen wir jetzt folgenden wichtigen 
Satz: 
Lehrsatz 3, „Die Flächeninhalte 
zweier Dreiecke, die einen gleichen Winkel 
haben, verhalten sich wie die Producte 
der diescnWinkel cinschliessenden Seiten.“ 
Beweis. In den Dreiecken ABC und 
DEF (Fig. 127) sei Winkel B = E. Lege 
Fig. 127. 
dieselben so auf einander, dass Winkel 
E mit B zusammen D in C, F in H 
fällt, dass also Dreieck GBH mit DEF 
congruent oder identisch ist. Ziehe Linie 
HA, so haben die Dreiecke BGH und 
BAH, wenn man BG und BA als Grund 
linien denkt, gleiche Höhe, es ist also: 
A BGH _BG 
~KBAH ~ BA* 
Die Dreiecke BAH und BCA, welche 
die Grundlinien BH und BC haben, wer 
den ebenfalls gleiche Höhe haben, und 
ist somit: 
ABAH BH 
A BCA BC' 
Durch Multiplication beider Gleichungen 
oder Proportionen 
ergibt sich: 
A BGH 
BG • BH 
A BCA 
BA • BC 
oder: 
A DEF 
DEEF 
A uiBC 
BA•BC’ 
womit unser Satz bewiesen ist. Aus 
diesem Satze folgt leicht der folgende, 
welcher lediglich Proportionalitäten zwi 
schen Linien enthält. 
Lehrsatz 4. „Halbirt man einen 
Dreieckswinkel, so wird die Halbirungs- 
linie die Gegenseite in zwei Theile thei- 
len, welche sich so verhalten, wie die 
an sie stossenden Seiten.“ 
Beweis. Sei Winkel ABC (Fig. 128) 
durch Linie BE halbirt, so soll sein: 
Aß _ AE 
BC~ EC' 
Die Dreiecke ABC und CBE, welche 
bei B gleiche Winkel haben, verhalten 
sich wie die cinschliessenden Seiten, also: 
A ABE AB•BE AB 
A CBE BE• BC~BC' 
Andrerseits haben die Dreiecke gleiche 
Höhe und verhalten sich also wie die 
Grundlinien AE und EC, also auch: 
A ABE AE 
A CBE ~ EC' 
woraus sich ergibt: