Raumlehre. 
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Raumlehre. 
ADAC_ AG 
A DEC ~ BG' 
Und in ganz gleicher Weise ergibt sich: 
AßßC _ CF 
A DBA ~ FÄ 
(In Figur 132 ist statt zu subtrahiren, 
hier jedoch zu addiren.) Und 
A DBA BE 
~Kdac ~ EC 
Durch Multiplication der drei letzten Glei 
chungen ergibt sich hieraus: 
AG•CF-BE_ r 
BG-FA-EC~ ’ 
also: 
AG-CF-BC= BG■FA EC 
Dieser Satz lässt sich umkehren: 
Lehrsatz 6. „Wenn von den Spitzen 
eines Dreiecks aus drei Linien so gezo 
gen sind, dass die Produkte dreier nicht 
zusammenstossender Segmente der Seiten 
gleich sind, so müssen sich die drei Schnitt 
linien in einem Punkte schneiden.“ 
Beweis, Denn sind AE, BF, CG 
(Fig. 133) diese Linien und mögen sie 
sich nicht in einem Punkte schneiden, 
aber: 
AG•CF•BE = BG•FA•EC 
sein, so kann man durch den Schnitt- 
Fig. 133. 
punkt etwa von AE und BF Linie GH 
ziehen, und es ist nach dem vorigen 
Satze : 
AH ■ CF • BE = BH • FA • CE, 
oder wenn man die erstere Gleichung 
durch die letztere dividirt: 
AG BG 
AH ~ BH' 
Im ersten Quotienten ist Kleineres durch 
Grösseres, im zweiten Grösseres durch 
Kleineres dividirt, der erste Quotient 
also kleiner, der zweite grösser, also 
die Gleichheit unmöglich und unser Satz 
bewiesen. 
Hieraus ergehen sich Sätze von ge 
wissen Linien in einem Dreieck, nie sich 
in einem Punkte schneiden. 
Lehrsatz 7. „Die di'ei Linien, welche 
die Spitzen eines Dreiecks mit den Mit 
ten der Gegenseiten verbinden, scheiden 
sich in einem Punkte.“ 
Beweis. Seien AD, BE, CF (Fig. 
134) diese Linien, so ist: 
AF = FB, BD = DC, CE = EA, 
also durch Multiplication: 
AF-BD*CE= FB-DC-EA, 
mithin die Bedingung des vorigen Satze 
erfüllt. 
Lehrsatz 8. „Wenn man von zwei 
Seiten eines Dreiecks CA und CB (Fig. 
134) Stücke von C aus abscheidet, CE 
Fig. 134. 
und CD, die sich wie die ganzen Seiten 
verhalten, die Theilpunkte E und D mit 
den gegenüberliegenden Ecken verbindet, 
und durch den Schnittpunkt G eine Linie 
nach der dritten Ecke C zieht, so hal- 
birt diese die Gegenseite.“ 
Beweis. 1 Man ziehe von C nach der 
Mitte von F von AB eine Linie, so be 
weisen wir, dass dieselbe durch G geht, 
womit dann unser Satz bewiesen ist.