Raumlehre.
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Raumlehre.
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sich die
Sei
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ist, weil sie etwas Negatives einem Po
sitiven gleich setzt. Eine Anwendung
dieser Betrachtung gibt der:
Lehrsatz 12. „Die drei aus den
Ecken eines Dreiecks auf die Gegensei
ten gefällten Lothe schneiden sich in
einem Punkte.“
Beweis. Seien CF, BE, AD (Fig.
137) die Lothe. Jedes theilt das Dreieck
Fig. 137.
—
k
/ \\
kf
A
r
B
ABC in 2 rechtwinklige mit einer ge
meinschaftlichen Kathete; es ist also:
AC'-CD* - AB 1 -BD*,
AB* — AE 2 = BC* — CE*,
BC* - BF* = AC* - AF a ,
also durch Addition und Wegheben des
Gleichen aut beiden Seiten,
- CD* - AE* - BF* = - BD* - CE 1
-AF 2 ,
welches die Bedingung für unsern Satz ist.
IV. Definitionen und Lehrsätze.
Definitionen. Vielecke heissen
ähnlich, wenn in ihnen alle Winkel
gleich sind, und alle Seiten in gleichem
Verhältnisse (laufender Proportion) ste
hen. Die Aehnlichkeit der Vielecke
ABCDEF und abedef (Fig. 138) ver
langt also, dass Winkel A~a, B — b,
C = c, D — d, E — e, F = f ist, und die
Proportionen:
AIB _ BC _ CD _ DE _ EF _ FA
ab bc cd de ef fa ’
oder:
AB: BC: CD : DE: EF: FA
= ab : bc: cd: de : ef: fa
stattfinden. — Das Zeichen der Aehn
lichkeit ist CNO.
Fig. 138.
Den Sätzen von der Aehnlichkeit der
Dreiecke, auf welche sich die Aehnlich
keit der Vielecke zurückführen lässt, liegt
folgender Hauptsatz zu Grunde.
Lehrsatz 12. „Wenn man zwischen
2 Seiten eines Dreiecks durch einen be
liebigen Punkt der einen, eine Linie
parallel der dritten Seite zieht, so ent
steht ein andres Dreieck, welches dem
gegebenen ähnlich ist, derart, dass die
Abschnitte auf den gegebenen Seiten
diesen Seiten selbst und die Parallele
der dritten Seite entspricht.“
Beweis. Sei (Fig. 139) BC parallel DE,
so soll sein :
A ABC co ADE.
(Von der Ordnung der Buchstaben bei
ähnlichen Dreiecken gilt das bei der Con-
gruenz der Dreiecke Gesagte, ebenfalls.)
Da Winkel A~ A und D = B als Ge
genwinkel ebenso E ~C ist, so ist nur
noch die Proportionalität der Seiten zu
beweisen, d. h, die Gleichungen:
AB AC BC
AD~ AE~ DE'
Wegen der Gleichheit der 3 Winkel hat
man nach Lehrsatz 3.:
oglich