Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 141. 
Seite eines Dreiecks AC (Fig. 142) in 
gleiche Theile Cg, gf, fe, ed, dA theilt, 
und durch die Thcilpunkte Linien parallel 
einer zweiten Seite AB, also gh, fk, el, 
dm nach der dritten CB zieht, so wird 
auch diese in gleiche Theile getheilt. 
Fig. 142. 
Beweis. Man hat nach Lehrsatz 12. 
die Proportion: 
£l_Ck Ce CI 
Cg ~ di Cf~ Ck 
n. s, w., woraus sich ergibt: 
Cf- Cg _Ck- Ck 
~ Cg ~ Ch ’ 
d. h.: 
fg _ hh 
Cg ~ Cif 
und da 
f9 = C 9, 
so ist auch: 
hk — Ch] 
Ce-Cf CI — Ck , ef hl 
Cf ~ Ck ° der Cf~ Ck 
kl 
Cfzz2ef, also — oder Ck = 2kl 
Lsfi 
und da Ck~Ch+hk~2Ch ist, kl=Ch. 
In derselben Weise ist die Gleichheit der 
andern Stücke zu beweisen. 
Hieran reihen wir noch den Satz: 
Lehrsatz 21. „Wenn man von der 
Ecke eines Dreiecks Linien nach den 
Mitten der Gegenseiten zieht, (die sich 
in einem Punkte schneiden) so theilen 
dieselben einander im Verhältnisse 2 :1.“ 
Beweis. Seien BE, CF, AD (Fig. 
143) diese Linien, welche sich in 0 schnei 
den, so soll sein : 
AO IW 
OD~ OE ~ OF~ 1 ' 
Fig. 143. 
Man ziehe FD, so ist: 
BÄ BC 
BF~ BD~ 1 ’ 
also nach Lehrsatz 19.: Fl) parallel AC. 
Aus diesem Grunde aber A FOÜJ' 1 COA, 
da die Winkel gleich sind, also; 
PC _ CA 
ÖF ~ FD 
Und wegen der Aehnlichkeit von A BFD 
und BAC, 
CA AB 2 
DF~BF~ 1’ 
also auch: 
C0 2_ 
OF~ 1’ 
In gleicher Weise folgt dies von den 
Theilen der andern Linien. 
VII. Lehrsätze. Die folgenden Be 
trachtungen enthalten einen für die Aus 
messung ähnlicher Figuren wichtigen Satz. 
Lehrsatz 22. „Die Flächeninhalte 
ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die 
Quadrate gleichliegcnder Seiten.“ 
Beweis. Seien ABC und abc (Fig. 
144) einander ähnlich, so ist, da 
Winkel A = a, 
A ABC AB-AC 
A abc ab • ac 
Man hat aber wegen der Aehnlichkeit: