Raumlehre. 132 
Raumlehre. 
I 
Es haben die Dreiecke ABD und ABC 
gemein den Winkel B und einen rechten, 
sie sind also ähnlich, ebenso haben ABC 
ADC Winkel C und einen rechten ge 
mein, woraus die Aehnlichkeit aller drei 
in folgender Ordnung sich ergibt: 
A ABC«r DBA ^ DAC. 
Scholion. Aus der Aehnlichkeit der 
beiden ersten Dreiecke folgt: 
A 17 7)/? 
BC = TÄ°^ AB^BC-BO, 
was offenbar mit dem Lehrsatz 6. des 
Abschnittes 4. zusammentrifft. Aus der 
Aehnlichkeit des ersten und dritten 
Dreiecks ergibt sich; 
J ~ oder AC* = BC • DC 
BC AC 
und dies zu der vorigen Gleichung addirt 
gibt: 
Aß 2 4-AC 1 = BC - DC + BC - BD 
= BC • {DC + BD) — BC 2 . 
Dies ist der (Pythagoracischc) Lehrsatz 7. 
des Abschnittes 4. 
Endlich folgt aus der Aehnlichkeit der 
beiden letzten Dreiecke: 
DA _ DC 
DB ~ DA 
also DA 2 — BD • CD. 
Dies ist Lehrsatz 8. desselben Abschnittes. 
Diese Beweise sind kürzer, als die frü 
her gegebenen. 
Lehrsatz 25. „Wenn man zu einem 
Dreiecke eine Linie zieht, welche alle 
drei Seiten schneidet, so sind die Pro 
ducte je dreier nicht zusammen stossend er 
Segmente einander gleich. 
Beweis. Sei ABC (Figur 147) das 
Dreieck, DEF die Linie, so soll sein: 
CD - BF-AE = BD’AF’CE. 
Ziehe CG parallel DF, so ist: 
Fig. 147 
A CBG <r DBF, 
also: 
DB 
BF 
CB ~ 
~BG' 
oder: 
DB—CB 
BF-BG 
DB 
BF 
d. h : 
DC 
GF 
DB~ 
BF" 
Ferner A EFA er CG A, also: 
EA _ FA 
CE~ GF 
und durch Multiplication der beiden letz 
ten Gleichungen: 
DC - EA FA 
DB~. CE “ BF' 
oder: 
DC • EA - BF = DB - CE . FA, 
wie zu beweisen war. 
Lehrsatz 26 ,,'Wenn man die Seiten 
eines Dreiecks in beliebige Theile in ir 
gend welchem Verhältnisse theilt und 
durch die Theilpunkte Linien nach der ge 
genüberliegenden Ecke zieht, so wird 
jede der getheilten Seite parallele Linie 
in Stücke getheilt, die denen der gege 
benen proportional sind.“ 
Beweis. Es ist zu beweisen, dass 
(Fig. 148) wenn DE parallel BC gezo 
gen ist, man hat: 
Fig. 148. 
De 
Man hat: 
also: 
De 
ab 
b C 
cd 
dC 
~yf z 
" Ta 
~ 9 h 
~ hE 
Au 
und 
ah 
Au 
Ae 
~ef~ 
Ae ’ 
ab i 
r lh 
Ab 
bc 
Ab 
ef ~ 
Af' 
T9~ 
Af 
Ba 
ab 
bc 
De 
= 
~ f9 
u. s. 
w. 
Sind die The 
gleich, so sin 
DE, d. h.: 
Zusatz. „ 
Winkels gezoj 
durch seine S 
gleiche Theile 
dieser Linie p 
IX. Defini 
Den folgern 
Verbindung i 
dieses Abschn 
zuschickeu sir 
D e f i n i t i o! 
(Fig. 149) so 
sich der erste 
hält, wie die g 
Theile CD, s< 
eine harmo 
A, B, C, D h a i 
jede vier Grad 
ß, C, D und ei: 
beliebigen Pu 
sehe Strahl 
so wie ß und 
Punkte, die 
Punkte gehenc 
und EB, EL 
Strahlen. 
also: