imlehre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
G t/' DBF, 
BF 
' ~ BG' 
BF-BG 
BF ’ 
7 _ GF 
i - £E‘ 
^CGA, also; 
4 FA 
E ~ GF 
lication der beiden letz- 
EA _ FA 
CE ~ BF’ 
i c cd _ dC 
~ Ta ~ 9 h ~ hE 
F = DB • CE • F4, 
war. 
,,Werm man die Seiten 
i beliebige Theile in ir- 
Verhältnisse theilt und 
nkte Linien nach der ge- 
Ecke zieht, so wird 
ten Seite parallele Linie 
1t, die denen der gege- 
tal sind.“ 
ist zu beweisen, dass 
DE parallel BC gezo- 
t: 
fig. 148. 
— und 
le 
ah _ An 
7f~Ae' 
ah Ah hc Ah 
= f9~ A f 
'a 
Ü 
ab _ bc_ 
Ff " fg 
u. s. w. 
Sind die Theile von BC untereinander 
gleich, so sind es mithin auch die von 
DE, d. h.: 
Zusatz. „Die von der Spitze eines 
Winkels gezogenen Linien, welche eine 
durch seine Schenkel gelegte Linie in 
gleiche Theile theilen, theilen auch jede 
dieser Linie parallele in gleiche Theile. 
IX. Definitionen und Lehrsätze. 
Den folgenden Betrachtungen liegt die 
Verbindung der Lehrsätze 5. und 25. 
dieses Abschnittes zu Grunde. Voraus 
zuschicken sind die folgenden 
Definitionen. Ist eine Linie AD 
(Fig. 149) so in 3 Theile getheilt, dass 
Fig. 149. 
sich der erste AB zum zweiten BC ver 
hält, wie die ganze Linie AD zum dritten 
Theile CD, so nennt man die Theilung 
eine harmonische, die vier Punkte 
A, B, C, D harmonische Punkte, und 
jede vier Graden, die bezüglich durch A, 
ß, C, D und einen gemeinschaftlichen aber 
beliebigen Punkt E gehen, harmoni 
sche Strahlen. Die Punkte A und C, 
so wie B und D heissen zugeordnete 
Punkte, die durch zwei zugeordnete 
Punkte gehenden Strahlen, also EA, EC 
und EB, ED heissen zugeordnete 
Strahlen. Da die Proportion: 
AB AD 
BC~ DC 
Eig. 
gleichbedeutend ist mit: 
CD AD 
CB"AB' 
so ist es gleichgültig welchen Theil man 
als den ersten annimmt. Die Grund 
eigenschaft harmonischer Punkte ist aber 
auch noch eines andern Ausdrucks fähig. 
Man hat: 
AB __ AD 
AC-AB~ AD- AC’ 
d. h, durch Umkehrung der Brüche 
AC i-i 
AC 
äs- 1 - 1 - 
ÄD' 
oder: 
11 
2 
AB + AD ~ 
AC' 
d.h. : 
„Vier Punkte einer Linie sind har 
monische, wenn der umgekehrte Werth 
der Entfernung des einen vom zweiten die 
arithmetische Mitte der umgekehrten 
Werthe der Entfernungen der beiden 
andern vom ersten ist.“ 
Wenn drei Grossen a, ß, y die Glei- 
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chung erfüllen 1 = —, so nennt 
« ß 7 
man y auch harmonische Mitte 
von « und ß, also: 
„Vier Punkte sind harmonisch, w r enn 
die Entfernung des einen vom zweiten 
die harmonische Mitte der Entfernung 
des ersten von den beiden noch fehlen 
den ist.“ 
Lehrsatz 27. „Jede Diagonale eines 
vollständigen Vierseits wird von den bei 
den andern und zwei Seiten harmonisch 
geschnitten, so dass die Schnittpunkte der 
Seiten zugeordnet sind.“ 
Beweis. Sei ABCD (Fig. 150) das 
Vierseit, BD, AC, EF seine Diagonalen, 
so hat man A EBF und 3 Transversalen, 
die sich in D schneiden, mithin nach 
Lehrsatz 5.: 
150. 
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