Raumlehre. 
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Raumlehre. 
ehre. 
3 aus A gezogenen 
ifallen, fiele dann 
a, nicht in den an- 
ihn in D, so wä- 
gleiche Halbmesser, 
demselben oder in 
ren: 1) zu gleichen 
i und Centriwinkel, 
ite, 2) zu gleichen 
i und Centriwinkel, 
vinkeln gleiche Bo- 
n A CB und NPQ 
sn Bogen; da diese 
.60. 
h decken, so decken 
AB und NQ, also 
dann die Dreiecke 
jruent, aus Gleich- 
also auch Winkel 
i decken sich die 
ite. 
so kann man diese 
bringen; fiele dabei 
jens NPQ nicht in 
wieder die unglei- 
OC, und somit ist 
Iso auch die Centri- 
B = NMQ, so sind 
ad NMQ congrucnt, 
Seiten und des ein- 
Is, mithin auch die 
und folglich auch 
ei AOB (Fig. 161) 
gehört zu ihm der 
bilden seine beiden 
;hmesser; auch der 
u einem gestreckten 
Es sind also diese 
B einander gleich. 
,'chmesser theilt die 
Fig. 161. 
Peripherie des Kreises und somit auch 
den Kreis selbst in zwei gleiche Theile.“ 
Offenbar rührt von dieser Eigenschaft 
die Bezeichnung Halbkreis her. 
Lehr satz 4, „Wenn zwei Bogen eines 
oder zweier gleichen Kreise ungleich sind, 
so gehört zu dem grossem auch die 
grössere Sehne und der grössere Centri 
winkel.“ 
Beweis. Die Bogen AB und AC 
(Fig. 162) lassen sich immer so auf cin- 
Fig. 162. 
ander legen, dass der Theil des grossem 
AC, der mit dem kleinen gleich ist, diesen 
auch deckt; es wird also C über B hin 
ausfallen und Winkel AOC grösser als 
AOB sein. 
Die Dreiecke AOB und AOC haben 
nun je 2 als Radien gleiche Seiten, dem 
kleineren eingeschlossenen Winkel AOB 
ward also auch die kleinere Seite AB 
gegenüberliegen, also AC grösser als AB. 
Lehrsatz 5. „Eine Sehne und ihr 
zugehöriger Bogen ist desto grösser je 
näher die Sehne dem Mittelpunkte, d. h. 
je kleiner das vom Mittelpunkte aus 
auf sie gefällte Loth ist.“ 
Beweis. Sind A B und BC (Fig. 163) 
die Sehnen, und Loth OE grösser als 
OD, so lässt sich OD auf OE legen, wo 
dann die Bogen zum Theil zusammen 
fallen, und AB in die Lage FG zwischen 
0 und BO fällt. Es ist also Bogen FG 
Fig. 163. 
von den zugehörigen Sehnen. 
III. Lehrsätze. 
Eine Sehne und die aus ihren End 
punkten gezogenen beiden Halbmesser 
bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Die 
Mittellinie desselben (Abschn. 3. Satz 11) 
geht durch die Spitze desselben und mit 
hin durch den Mittelpunkt, und da sie 
den Winkel an der Spitze d. h. den 
Centriwinkel halbirt, so wird sie auch 
den zugehörigen Bogen halbiren, da zu 
gleichen Sehnen gleiche Bogen gehören. 
Also; 
Lehrsatz 6. „Zu jedem Bogen gibt 
es eine und nur eine Linie, welche ihn, 
die zugehörige Sehne und den zugehö 
rigen Centriwinkel halbirt, durch den 
Mittelpunkt geht, und auf der Sehne 
senkrecht steht.“ 
Diese Linie wollen wir auch als Mittel- 
linie des Bogens bezeichnen. 
Zieht man jetzt vom Mittelpunkte 0 
aus (Fig. 164) ein Loth OE auf eine 
Sehne CD, so steht dies auch auf der 
parallelen Sehne AB in F senkrecht 
Fig. 164. 
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