Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 211. 
nämlich von Tangente und Sehne ge 
bildet, der andere ist der Peripherie 
winkel auf dem dazwischen liegenden 
Bogen BC), somit also: 
' AC AB' 
woraus unser Satz folgt. 
Liegt der Punkt A (Fig. 213) inner 
halb des Kreises und ist die eine Sehne 
BE der Durchmesser, die andere DC 
auf demselben senkrecht, so ist DA —CA, 
also: DA 2 — BA • AE. 
Fig 213. 
Denkt man im zweiten Falle die Se 
cante AC sich so um den festen Punkt A 
bewegt, dass die Sehne BE kleiner wird, 
und somit die Punkte B und E immer 
mehr zusammenrücken, so wird schliess 
lich die Secante sich in eine Tangente 
verwandeln, die Punkte B und E zu 
sammenfallen, und unser Lehrsatz wird 
dann folgender: 
Lehrsatz 2. „Zieht man von einem 
Punkte A ausserhalb des Kreises eine 
Tangente und eine Secante an denselben, 
so ist das Quadrat der Tangente von A 
bis zum Berührungspunkte gleich dem 
Producte aus den’Abschnitten derSecante 
von A bis nach der Peripherie.“ 
Die oben gegebenen Betrachtungen las 
sen sich noch durch einen genaueren 
Beweis dieses Satzes ersetzen. 
Beweis. Es soll sein (Fig. 212) 
AB- = AC-AD. Ziehe BC und BD, so 
ist A ABC cr> ADB, denn Winkel A~A, 
Winkel ABC — ADB, (der erstere ist 
Fig. 212. 
Zusatz. „Zieht man aus irgend einem 
Punkte eine Senkrechte nach der Peri 
pherie, so ist ihr Quadrat gleich dem 
Product aus den Abschnitten des Durch 
messers.“ 
II. Lehrsätze. 
Die folgenden Sätze geben wichtige 
Eigenschaften der Kreisvierecke. 
Lehrsatz 3. „In jedem Kreisvier 
ecke ist das Product der Diagonalen 
gleich der Summe der Producte je zweier 
gegenüberliegender Seiten. 
Beweis. Es soll sein (Fig. 214) 
AC- Bl) = AB • CD + BC • AD. Ziehe 
BE, so dass Winkel ABE = ÜBC, so 
ist auch /_\ABE<s> DBC, denn ausser 
den beiden genannten Winkeln ist Winkel 
BAE = BDC als Peripheriewinkel aaf 
Bogen BC. Ferner ist A CBE^r DBA, 
denn Winkel BCE =z BDA als Peri 
pheriewinkel auf Bogen BA, und Winkel 
CBE = DBA, da beide das Stück EBD 
gemein haben, und die Reste die Winkel 
ABE und CBD sind. Aus dem ersten 
Paare ähnlicher Dreiecke erhalten wir: 
AB _ DB 
ÄE ~ DC ' 
und aus dem zweiten: 
CB DB 
CE~ DA'